為了解決實際問題、人們必須發明出“零”來，然后要造出負數、有理數、無理數乃至虛數。所謂虛，就是不實，憑空想象出來的意思，不過解代數方程有必要把它請進來，請進來后又覺得它不實在、不太放心。后來它用處很大，能解決非它不可的問題，于是轟也轟不走了。
復數擠進數學王國之后，跟著四元數、八元數、超復數……都來了，它們可沒有復數都么大的用處，甚至根本沒用。要還是不要呢？這也使數學家處于為難的境地。數學家經常處于這種矛盾的過程中。 “什么是存在？”，這是數學的一個基本問題。什么東西可以擠進數學王國？直覺主義者規定一個較窄的限制：必須能夠一步一步構造出來；而形式主義者規定一個較寬的限制：只要沒有矛盾就行了。不過什么叫沒有矛盾？當然邏輯沒有矛盾，其實就是遵守形式邏輯規律。可是形式邏輯是從人類有限經驗推出來的，對于無窮情形還靈不靈？這當然存在問題，可是不許推廣，那數學還能剩下多少靠得住的東西呢？
在數學史上這種矛盾也是屢見不鮮的。無窮小量剛出現時，漏洞百出、無法自圓其說，可是行之有效、解決問題。所以達朗貝爾說：“前進，你就能恢復信心!”，這可以說是一種實用主義態度。
十九世紀，柯西和維爾斯特拉斯用極限概念解決了矛盾，同時也扔掉了無窮小，這里無矛盾性占了上風。1961年，羅濱遜發明非標準分析，又把無窮小量請了回來，仍然沒有矛盾。不過它是建立在模型論基礎上，要承認非可數無窮基數的存在。
承認無窮集合，承認無窮基數，就好象打開潘朵拉的盒子，一切災難都出來了。這就是第三次數學危機的實質。盡管悖論可以消除，矛盾可以回避，數學的確定性卻在一步一步喪失。最近莫利斯·克萊因寫了一本《數學—確定性的喪失》一書，就是講的這件事。 現代公理集合論的一大堆公理簡直難說孰真孰假，可是又不能把它們一古腦兒消除掉，它們跟整個數學可是血肉相連的。所以第三次危機表面上解決了，實質上更深刻地以其它形式延續看。矛盾既然是固有的，它的激烈沖突—危機也會給數學帶來許多新內容，新認識，有時也帶來革命性的變化。
把二十世紀的數學同前整個數學相比，內容不知豐富了多少，認識也不知深入了多少。在集合論的基礎上，誕生了抽象代數學、拓撲學、泛函分析與測度論。數理邏輯也興旺發達，成為數學有機整體的—部分。古代的代數幾何、微分幾何、復分析現在已經推廣到高維，代數數論的面貌也多次改變，變得越來越優美、完整。一系列經典問題完滿地得到解決，同時又產生更多的新問題。特別是二次大戰之后，新成果層出不窮，從未間斷。教學呈現無比興旺發達的景象，而這正是人們在同數學中矛盾斗爭的產物。
|
