| 康托爾1899年7月28日給戴德金的信中，談到布拉里·福蒂所提到的矛盾，這個(gè)矛盾并沒(méi)有導(dǎo)致康托爾放棄集合的良序性，而放棄了它的集合性。他把集合分為兩類(lèi)：相容集合和不相容集合，而只把前者叫做集合。這種區(qū)分法預(yù)示了馮·諾依曼在1925年引進(jìn)的集合和類(lèi)的區(qū)別。但是康托爾對(duì)于這種區(qū)分的判斷標(biāo)準(zhǔn)仍然是不精確的。如果我們把一個(gè)集體考慮為一個(gè)對(duì)象而沒(méi)有矛盾，它是一個(gè)集合。這個(gè)想法后來(lái)改進(jìn)為：當(dāng)一個(gè)集體是另一個(gè)集體的元素，它是一個(gè)集合。
這種相容集體和不相容集體的區(qū)別早已被施羅德引進(jìn)來(lái)。他認(rèn)為如果集體的元素彼此是相容的，它是相容的；而如果集體的元素彼此是不相容的，它是不相容的。有趣的是施羅德引進(jìn)的這種區(qū)分和悖論沒(méi)有關(guān)系，因?yàn)檫@種現(xiàn)代形式的悖論當(dāng)時(shí)還不知道。康托爾關(guān)于集體的敘述——兩個(gè)等價(jià)的集體或者都是集合，或者都是不相容的，可以看成是取代公理的最早的表述。這個(gè)公理是弗蘭克爾和斯科蘭姆在1922年提出的。
布拉里·福蒂的悖論揭示了康托爾集合論的矛盾。其實(shí)，康托爾本人在這之前已經(jīng)意識(shí)到集合論的內(nèi)在矛盾。他在1899年7月28日給戴德金的信中指出，不能談?wù)撚梢磺屑蠘?gòu)成的集合，否則就會(huì)陷入矛盾。這實(shí)際上就是羅素悖論的內(nèi)容。
康托爾最大基數(shù)悖論和布拉里·福蒂悖論到羅素悖論都是集合論悖論，它們直接同康托爾樸素集合論的不嚴(yán)格性有關(guān)。毛病出在集合的定義上，也就是任何性質(zhì)就對(duì)應(yīng)一個(gè)具有這種性質(zhì)的集合，這就是所謂內(nèi)函公理組。集合論的這種矛盾必須通過(guò)削弱這個(gè)錯(cuò)誤的公理組才能解決。
羅素的悖論發(fā)表之后，接著又發(fā)現(xiàn)一系列悖論（后來(lái)歸入所謂語(yǔ)義悖論）：
1、理查德悖論。法國(guó)第戎中學(xué)教師理查德在1905年發(fā)表了一個(gè)悖論，大意如下：法語(yǔ)中某些片語(yǔ)表示實(shí)數(shù)，比如“一個(gè)圓的圓周與直徑之比”就表示實(shí)數(shù)π。法語(yǔ)字母也象英語(yǔ)字母一樣有一定的順序，所以我們可以把所有片語(yǔ)按照字母順序排列，然后按照片語(yǔ)中字母的多少排列，少的在前，多的在后。這樣我們把能用片語(yǔ)表達(dá)的實(shí)數(shù)排成一個(gè)序列，al，a2，a：，……。于是就得到了所有能用有限多字(字母)定義的數(shù)了。它們構(gòu)成了一個(gè)可數(shù)集合E。現(xiàn)在我們提出一個(gè)規(guī)則把這個(gè)序列改變一下造成一個(gè)數(shù)來(lái)：“設(shè)E中第n個(gè)數(shù)的第n位為p，我們?cè)煲粋�(gè)實(shí)數(shù)如下：其整數(shù)部分為0，如果p不是8或9；其第n位小數(shù)為p＋1，要是p是8或9的話(huà)，則第n位變成1”。這個(gè)實(shí)數(shù)顯然不屬于E，因?yàn)樗虴中每個(gè)數(shù)都不一樣。但是它們卻可以由上面有限多個(gè)字組成的話(huà)來(lái)表示，因此應(yīng)該屬于E，這就出現(xiàn)矛盾。
理查德提出的悖論是因?yàn)榭吹椒▏?guó)《純粹科學(xué)與應(yīng)用科學(xué)通論》1905年3月30日一期的編者按語(yǔ)而寫(xiě)的。編者談到，1904年8月在德國(guó)海德?tīng)柋ふ匍_(kāi)的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，德國(guó)數(shù)學(xué)家寇尼格證明連續(xù)統(tǒng)是不能夠良序化的。可是一個(gè)月后，德國(guó)數(shù)學(xué)家策梅羅卻證明了任何集合都能良序化，理查德從這段話(huà)中看到了集合論中存在“某些矛盾”，這些矛盾和良序性和序數(shù)的概念有關(guān)系，于是他給該刊物編輯部寫(xiě)了一封信，登在1905年6月號(hào)上，編者還加了按語(yǔ)。
2、培里悖論。培里是英國(guó)的圖書(shū)館管理員。有一天他告訴羅素下面的悖論：英語(yǔ)中只有有限多個(gè)音節(jié)，只有有限多英語(yǔ)表達(dá)式包含少于40個(gè)音節(jié)，所以，用少于40個(gè)音節(jié)的表達(dá)式表示的正數(shù)數(shù)目只有有限多個(gè)。假設(shè)R為不能由少于40個(gè)普的英語(yǔ)表達(dá)式來(lái)表示的最小正整數(shù)(The
least positive integer which is not denotedby an expression
in the English language containing fewer than forty
syllables)。但是，這段英語(yǔ)只包含三十幾個(gè)音節(jié)，肯定比40個(gè)少，而且表示R，這自然產(chǎn)生了矛盾。
3．格瑞林和納爾遜悖論。納爾遜是新康德主義的小流派之一弗瑞斯派的代表。1908年他和他的學(xué)生格瑞林把下面的悖論發(fā)表在弗瑞斯派的一個(gè)文集上，通常稱(chēng)為格瑞林悖論。如果一個(gè)形容詞所表示的性質(zhì)適用于這個(gè)形容詞本身，比如“黑的”兩字的確是黑的，那么這個(gè)形容詞稱(chēng)為自適用的。反之，一個(gè)形容詞如果不具有自適用的性質(zhì)，就叫做非自適用的。在英語(yǔ)中：“Polysyllabic”(多音節(jié)的)，“English”(英語(yǔ)的)這些詞都是自適用的形容詞，而“monosyllabic”(單音節(jié)的)、“French”(法語(yǔ)的)這些詞就是非自適用的。現(xiàn)在我們來(lái)考慮“非自適用的”這個(gè)形容詞，它是自適用的還是非自適用的呢？如果“非自運(yùn)用的”是非自適用的，那么它就是自適用的；如果“非自適用的”是自適用的，那么按照這詞的意思，則它是非自適用的，這就導(dǎo)出矛盾。
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