第四章：哥德爾的發現—意想不到的結果

在數理邏輯的歷史上，哥德爾的工作起著承前啟后的作用。1928年希爾伯特在意大利波倫那召開的國際數學家大會上提出的四個問題，很快就被哥德爾原則上解決了。尤其是他的不完全性定理，把人們引向一種完全不同的境界，從此數理邏輯開始了一個新的時代。

在這之前，數學家期望數學有一個既廣闊又嚴格的基礎，在這個基礎上數學家可以放心地去干他們愿意干的事。哥德爾的不完全性定理使這種想法破滅了。

悖論所造成的危機雖然可以暫時回避，然而想從原則上一攬子解決是毫無希望的。從此之后，數學家只滿足于使用集合論一些最簡單的結果，而對更深入的數理邏輯與數學基礎問題則不那么關心注意了。

同時，由于哥德爾在證明中發展的一些技術，也使數理邏輯成為一門具有自己獨立技術和方法的數學分支�，F在的數理邏輯，不管是公理集合論、模型論還是證明論、遞歸論都已經變得十分專門。就象代數拓撲學、算子代數、隨機過程等學科，對于非本行專家來說，簡直是難以理解的。