1.2 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)

從某種意義上來講，現(xiàn)代意義下的數(shù)學(xué)（也就是作為演繹系統(tǒng)的純粹數(shù)學(xué)）來源于古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這個學(xué)派興旺的時期為公元前500年左右，它是一個唯心主義流派。他們重視自然及社會中不變因素的研究，把幾何、算術(shù)、天文學(xué)、音樂稱為“四藝”，在其中追求宇宙的和諧及規(guī)律性。他們認(rèn)為“萬物皆數(shù)”，認(rèn)為數(shù)學(xué)的知識是可靠的、準(zhǔn)確的，而且可以應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)的世界。數(shù)學(xué)的知識是由于純粹的思維而獲得，并不需要觀察、直覺及日常經(jīng)驗(yàn)。

畢達(dá)哥拉斯的數(shù)是指整數(shù)，他們在數(shù)學(xué)上的一項(xiàng)重大發(fā)現(xiàn)是證明了勾股定理。他們知道滿足直角三角形三邊長的一般公式，但由此也發(fā)現(xiàn)了一些直角三角形的三邊比不能用整數(shù)來表達(dá)，也就是勾長或股長與弦長是不可通約的。這樣一來，就否定了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的信條：宇宙間的一切現(xiàn)象都能歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比。

不可通約性的發(fā)現(xiàn)引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。有人說，這種性質(zhì)是希帕索斯約在公元前400年發(fā)現(xiàn)的，為此，他的同伴把他拋進(jìn)大海。不過更有可能是畢達(dá)哥拉斯已經(jīng)知道這種事實(shí)，而希帕索斯因泄密而被處死。不管怎樣，這個發(fā)現(xiàn)對古希臘的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)有極大的沖擊。這表明，幾何學(xué)的某些真理與算術(shù)無關(guān)，幾何量不能完全由整數(shù)及其比來表示，反之?dāng)?shù)卻可以由幾何量表示出來。整數(shù)的尊崇地位受到挑戰(zhàn)，于是幾何學(xué)開始在希臘數(shù)學(xué)中占有特殊地位。

同時這也反映出，直覺和經(jīng)驗(yàn)不一定靠得住，而推理證明才是可靠的。從此希臘人開始由“自明的”公理出發(fā)，經(jīng)過演繹推理，并由此建立幾何學(xué)體系，這不能不說是數(shù)學(xué)思想上一次巨大革命，這也是第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的自然產(chǎn)物。

回顧以前的各種數(shù)學(xué)，無非都是“算”，也就是提供算法。即使在古希臘，數(shù)學(xué)也是從實(shí)際出發(fā)，應(yīng)用到實(shí)際問題中去的。比如泰勒斯預(yù)測日食，利用影子距離計(jì)算金字塔高度，測量船只離岸距離等等，都是屬于計(jì)算技術(shù)范圍的。至于埃及、巴比倫、中國、印度等國的數(shù)學(xué)，并沒有經(jīng)歷過這樣的危機(jī)和革命，所以也就一直停留在“算學(xué)”階段。而希臘數(shù)學(xué)則走向了完全不同的道路，形成了歐幾里得《幾何原本》的公理體系與亞里士多德的邏輯體系。