4.2連續統假設

連續統假設的歷史最久，它可以說是隨著集合論一起產生的。1883年康托爾就提出了這個假設，可數無窮集的基數的后面就是連續統的基。康托爾花了畢生精力去證明，但沒有成功。希爾伯特把它列入自己著名的23個問題的頭一個。希爾伯特本人也曾經用了許多精力證明它，并且在192～—1926年宣布過證明的大綱，但終究未能成功。這個問題終究懸而未決。

1930年哥德爾完成了他的兩大貢獻以后，曾說過“現在該輪到集合論了”。他從1935年起就開始研究連續統假設及廣義連續統假設。這一次他又出人意料地證明了ZF和GCH是協調一致的，不過當然要假設ZF本身也是協調的，雖然這一點一直沒有得到證明。

哥德爾應用可構造性公理證明ZFC和ZFC＋GCH的相對無矛盾性，他用可構造集的類L作為ZFC的模型。1963年7月，美國年輕數學家科恩發明了影響極為重大的力迫法，并證明連續統假設的否定命題成立，這樣一來CH在ZF中既不能證明也不能否定。

4.3可構成性公理

哥德爾證明選擇公理和連續統假設協調性的方法是定義一種類型的集合，叫做可構成集。假如把集合論中集合的概念完全用可構成集合的概念來理解，那么集合論中的一些概念就會有相應的改變。但是有一些概念不會改變，這種概念我們稱為絕對的，特別是可構成性這個概念是絕對的。所以“一切集合是可構成的”，這稱為可構成性公理。

可構成性的概念非常重要，表現在：

1、可構成性公理與ZF的其他公理是協調的；

2、可構成性公理蘊涵連續統假設和選擇公理；

3、如果可測基數存在，則不可構成集合存在，這是斯科特1961年證明的。隨后，羅巴通在他1964年的博土論文中證明可測基數的存在，蘊涵整數不可構成集合的存在性，后來他又證明可測基數的存在蘊涵只有可數無窮多個整數的可構成集合。

4.4 馬丁公理

馬丁公理是1970年由馬丁等人提出來的，它與ZFC的其他公理完全不同，不象一個“真”的公理，但是由它可以推出數學上重要的結果。馬丁公理是連續統假設的推論，因此可以看成是弱連續統假設。

馬丁公理在數學上有一系列的重要應用。特別重要的是，舍拉在1974年證明懷特海猜想在ZFC下是不可判定的。同樣，許多拓撲學問題也有類似情況。

4.5 大基數公理

連續統假設及廣義連續統假設反映了最理想的大基數產生的方法，也就是一個接一個由冪集的基數產生出來。但是，這種理想的情況現在還無法證明，而與它不同或矛盾的情形也不可能得到否定。因此，這種種特殊大基數的存在性能得到更加特殊的結果，而且對數學本身產生了不可忽視的影響。

雖然這些大基數極為玄乎，可是由它們可以推出許多重要的數學結果。因此我們不得不重視它，而它們的存在性作為公理就是大基數公理。可以料到這些大基數公理同原來的一些公理是矛盾的。比如，可構造公理就蘊涵可測基數不存在。

大基數公理對數學問題的重要性可以由下面問題的解決看出：拓撲學中一個著名的幾十年末解決的正規莫爾空間猜想歸結為可測基數的存在問題，而象過去局限于ZFC系統的證明是沒有希望的。\

4.6決定性公理

決定性公理是與描述集合論密切相關的公理，它涉及到自然數列的集合是否能夠通過某種方法決定。

決定性公里的基本問題是：什么集合是可決定的？經過許多人的努力，馬丁在1975年證明，數學中最常用的保萊爾集合是可決定的。下一個猜想是證明所有解析集合(即二維保萊爾集合的射影集合)是可決定的，但這個猜想與哥德爾的可構成性公理相矛盾。上面講過，可構成性公理是與ZFC是相容的，因此這個猜想無法在集合論中證明。這樣一來，它本身可以成為一個新公理。

比這個公理更加激進的公理是：R的所有子集合都是決定的。這個公理太過激烈了，以致很難為“真”，因為它首先同選擇公理有矛盾。不過，由這個決定性公理卻能推出一系列有趣的數學事實；其中最突出的是，由它可推出所有實數集合都是勒貝格可測的。這樣一來，許多數學成為沒有意思的了。因此，數學家還是不太想要這個太強的公理。可是，它帶來的一系列問題仍有待解決。