在十九世紀發現了許多用傳統方法不能解決的問題，如五次及五次以上代數方程不能通過加、減、乘、除、乘方、開方求出根來；古希臘幾何三大問題，即三等分任意角、倍立方體、化圓為方不能通過圓規、直尺作圖來解決等等。

這些否定的結果表明了傳統方法的局限性，也反映了人類認識的深入。這種發現給這些學科帶來極大的沖擊，幾乎完全改變了它們的方向。比如說，代數學從此以后向抽象代數學方面發展，而求解方程的根變成了分析及計算數學的課題。在第三次數學危機中，這種情況也多次出現，尤其是包含整數算術在內的形式系統的不完全性、許多問題的不可判定性都大大提高了人們的認識，也促進了數理邏輯的大發展。

這種矛盾、危機引起的發展，改變面貌，甚至引起革命，在數學發展歷史上是屢見不鮮的。第二次數學危機是由無窮小量的矛盾引起的，它反映了數學內部的有限與無窮的矛盾。數學中也一直貫穿著計算方法、分析方法在應用與概念上清楚及邏輯上嚴格的矛盾。在這方面，比較注意實用的數學家盲目應用。而比較注意嚴密的數學家及哲學家則提出批評。只有這兩方面取得協調一致后，矛盾才能解決。后來算符演算及δ函數也重復了這個過程，開始是形式演算、任意應用，直到施瓦爾茲才奠定廣義函數論的嚴整系統。

對于第三次數學危機，有人認為只是數學基礎的危機，與數學無關。這種看法是片面的。誠然，問題涉及數理邏輯和集合論，但它一開始就牽涉到無窮集合，而現代數學如果脫離無窮集合就可以說寸步難行。因為如果只考慮有限集合或至多是可數的集合，那絕大部分數學將不復存在。而且即便這些有限數學的內容，也有許多問題要涉及無窮的方法，比如解決數論中的許多問題都要用解析方法。由此看來，第三次數學危機是一次深刻的數學危機。