1.4 非歐幾何學的誕生
歐幾里得的《幾何原本》是第一次數學危機的產物。盡管它有種種缺點和毛病，畢竟兩千多年來一直是大家公認的典范。尤其是許多哲學家，把歐幾里得幾何學擺在絕對幾何學的地位。
十八世紀時，大部分人都認為歐幾里得幾何是物質空間中圖形性質的正確理想化。特別是康德認為關于空間的原理是先驗綜合判斷，物質世界必然是歐幾里得式的，歐幾里得幾何是唯一的、必然的、完美的。
既然是完美的，大家希望公理、公設簡單明白、直截了當。其他的公理和公設都滿足了上面的這個條件，唯獨平行公設不夠簡明，象是一條定理。
歐幾里得的平行公設是：每當一條直線與另外兩條直線相交，在它一側做成的兩個同側內角的和小于兩直角時，這另外兩條直線就在同側內角和小于兩直角的那一側相交。
在《幾何原本》中，證明前28個命題并沒有用到這個公設，這很自然引起人們考慮：這條啰哩啰嗦的公設是否可由其他的公理和公設推出，也就是說，平行公設可能是多余的。
之后的二千多年，許許多多人曾試圖證明這點，有些人開始以為成功了，但是經過仔細檢查發現：所有的證明都使用了一些其他的假設，而這些假設又可以從平行公設推出來，所以他們只不過得到一些和平行公設等價的命題罷了。
到了十八世紀，有人開始想用反證法來證明，即假設平行公設不成立，企圖由此得出矛盾。他們得出了一些推論，比如“有兩條線在無窮遠點處相交，而在交點處這兩條線有公垂線”等等。在他們看來，這些結論不合情理，因此不可能真實。但是這些推論的含義不清楚，也很難說是導出矛盾，所以不能說由此證明了平行公設。
從舊的歐幾里得幾何觀念到新幾何觀念的確立，需要在某種程度上解放思想。首先，要能從二千年來證明平行公設的失敗過程中看出這個證明是辦不到的事，并且這種不可能性是可以加以證實的；其次，要選取與平行公設相矛盾的其他公設，也能建立邏輯上沒有矛盾的幾何。這主要是羅巴切夫斯基的開創性工作。 |
