3、1930年哥德爾的兩項主要貢獻

(1) 完全性定理：哥德爾的學位論文《邏輯函數演算的公理的完全性》解決了一階謂詞演算的完全性問題。羅素與懷德海建立了邏輯演算的公理系統的無矛盾性及完全性(也許還包括不那么重要的獨立性)。所謂完全性就是，每一個真的邏輯數學命題都可以由這個公理系統導出，也就是可證明。

命題演算的完全性已由美國數學家波斯特在1921年給出證明，而一階謂詞演算的完全性—直到1929年才由哥德爾給出證明。但是哥德爾認為，斯柯侖在1922年的文章中已隱含證明了命題演算的完全性，但是他沒有陳述這個結果，可能是他本人并沒有意識到這一點。

(2) 哥德爾的不完全性定理：這是數理邏輯最重大的成就之一，是數理邏輯發展的一個里程碑和轉折點。哥德爾在研究過程中直接考慮悖論及解決悖論的方法，從而把第三次數學危機引導至另外一個方向上。

哥德爾證明不完全性定理是從考慮數學分析的協調性問題開始的。1930年秋在哥尼斯堡會議上，他宣布了第一不完全性定理：一個包括初等數論的形式系統，如果是協調的，那就是不完全的。不久之后他又宣布：如果初等算術系統是協調的，則協調性在算術系統內不可證明。

哥德爾的證明使用了“算術化”的方法。哥德爾說：“一個系統的公式……從外觀上看是原始符號的有窮序列……。不難嚴格地陳述，哪些原始符號的序列是合適公式，哪些不是；類似地，從形式觀點看來，證明也只不過是(具有某種確定性質的)一串公式的有窮序列”。因此，研究一個形式系統實際上就是研究可數個對象的集合。我們給每個對象配上一個數，這種把每一個對象配上一個數的方法稱為“哥德爾配數法”。哥德爾通過這些數反過來看原來形式系統的性質。

哥德爾研究了46種函數和謂詞，哥德爾證明了他的前45個函數和謂詞都是原始遞歸的。但第46個謂詞為“X是一個可證公式的哥德爾數”。在對哥德爾配數的系統中，可以得到一個公式，它相當于：我是不可證的。所以這個句子是不可證的且是真的。所以系統中存在真語句而又不可證，也就是系統不完全。

哥德爾的論文在1931年發表之后，立即引起邏輯學家的莫大興趣。它開始雖然使人們感到驚異不解，不久即得到廣泛承認，并且產生巨大的影響。

哥德爾的證明對希爾伯特原來的計劃是一個巨大的打擊，因此把整個數學形式化的打算是注定要失敗的，因而邏輯主義和形式主義的原則是不能貫徹到底的；“希爾伯特計劃”中證明論的有限主義觀點必須修正，從而使證明論的要求稍稍放寬。1936年甘岑在容許超窮歸納的條件下證明了算術的無矛盾性，而倡導有限構造主義的直覺主義也不能解決問題；哥德爾的工具遞歸函數促進了遞歸函數論的系統研究，同時推動了不可判定問題的研究，開始出現遞歸論的新分支。

哥德爾不完全定理的證明結束了關于數學基礎的爭論不休的時期，數學基礎的危機不那么突出表現出來。數理邏輯形成了一個帶有強技巧性的獨立學科，而絕大部分數學家仍然把自己的研究建立在樸素集合論或ZF公理集合論的基礎上。

盡管集合論中存在矛盾，但這些矛盾大部分均可回避。研究這些矛盾，特別是集合論的矛盾變成數理邏輯學家的事業。另外一方面，直覺主義和構造主義數學雖然也有發展，但終究是一小部分，半個世紀以來，在數學中始終不占統治地位。因為矛盾也好、危機也好，根源在于無窮，但是數學中畢竟少不了無窮。歸根結蒂，數學終究是研究無窮的科學。