結束語

數學素以精確嚴密的科學著稱，可是在數學發展的歷史長河中，仍然不斷地出現矛盾以及解決矛盾的斗爭。從某種意義下講，數學就是要解決一些問題，問題不過矛盾的一種形式。

有些問題得到了解決，比如任何正整數都可以表示為四個平方數之和；有些問題至今沒有得到解決，如哥德巴赫猜想：任何大偶數都再可以表表示為兩個素數之和。我們還很難說這個命題是對還是不對，因為隨便給一個偶數，經過有很多次試驗總可以得出結論，但是偶數有無窮多個，你窮畢生精力也不會驗證完。也許你能碰到到一個很大的偶數，找不到兩個素數之和等于它，不過即使這樣，你也難以斷言這種例外偶數是否有限多個，也就是某一個大偶數之后，上述歌德巴赫猜想成立。這就需要證明，而證明則要用有限的步驟解決涉及無窮的問題。借助于計算機完成的四色定理的證明，首先也要把無窮多種可能的地圖歸結成有限的情形，沒有有限，計算機也是無能為力的。因此看出數學永遠回避不了有限與無窮這對矛盾。只要無窮存在，你就要應付它。這可以說是數學矛盾的根源之一。

在處理出現矛盾的過程中，數學家不可能不進行“創造”，這首先表現在產生新概念上，我們不妨先不管自然數。為了解決實際問題、人們必須發明出“零”來，然后要造出負數、有理數、無理數乃至虛數。所謂虛，就是不實，憑空想象出來的意思，不過解代數方程有必要把它請進來，請進來后又覺得它不實在、不太放心。后來它用處很大，能解決非它不可的問題，于是轟也轟不走了。

復數擠進數學王國之后，跟著四元數、八元數、超復數……都來了，它們可沒有復數都么大的用處，甚至根本沒用。要還是不要呢？這也使數學家處于為難的境地。數學家經常處于這種矛盾的過程中。

“什么是存在？”，這是數學的一個基本問題。什么東西可以擠進數學王國？直覺主義者規定一個較窄的限制：必須能夠一步一步構造出來；而形式主義者規定一個較寬的限制：只要沒有矛盾就行了。不過什么叫沒有矛盾？當然邏輯沒有矛盾，其實就是遵守形式邏輯規律。可是形式邏輯是從人類有限經驗推出來的，對于無窮情形還靈不靈？這當然存在問題，可是不許推廣，那數學還能剩下多少靠得住的東西呢？