100年過去了，現在回過頭來看，對希爾伯特提出的23個問題，有不少評論。很多人認為，這些問題對推動20世紀數學的發展起了很大的作用，當然也有評論曾指出其不足之處，例如，這23個問題中未能包括拓樸學、微分幾何等在20世紀成為前沿學科領域中的數學問題 ，除數學物理外很少涉及應用數學，等等，當然更不會想到20世紀電腦的大發展及其對數學的重大影響。20世紀數學的發展實際上遠遠超出了希爾伯特所預示的范圍。

希爾伯特是19世紀和20世紀數學交界線上高聳著的三位偉大數學家之一，另兩位是龐加萊（1854—1912）及克萊因（1849—1925）。他們的數學思想及對數學的貢獻，既反射出19 世紀數學的光輝，也照耀著20世紀數學前進的道路。

希爾伯特是在上一次世紀交替之際作講演的，現在又一個新的世紀開始了，再來看看他的講演，其中一些話仍然適用，例如在講演一開始，他說：“我們當中有誰不想揭開未來的帷幕，看一看在今后的世紀里我們這門科學發展的前景和奧秘呢？我們下一代的主要數學思潮將追求什么樣的特殊目標？在廣闊而豐富的數學思想領域，新世紀將會帶來什么樣的新方法和新成果？”他還說：“歷史教導我們，科學的發展具有連續性。我們知道，每個時代都有它自己的問題，這些問題后來或者得以解決，或者因為無所裨益而被拋到一邊并代之以新的問題。因為一個偉大時代的結束，不僅促使我們追溯過去，而且把我們的思想引向那未知的將來。”

20世紀無疑是一個數學的偉大時代，21世紀的數學將會更加輝煌�！懊總�時代都有它自己的問題”，20世紀來臨時，希爾伯特提出了他認為是那個世紀的23個問題。這些問題對20 世紀數學的發展起了很大的推動作用，但20世紀數學的成就卻遠遠超出他所提出的問題。

那么21世紀的問題又是什么呢？希爾伯特在巴黎國際數學家大會上提出這些問題時，才38歲，但已經是當時舉世公認的德高望重的領袖數學家之一。大家知道，2002年國際數學家大會將在中國北京召開，這是國際數學家大會第一次在發展中國家召開，那么在這新舊世紀交替之際，會不會有像希爾伯特這樣具有崇高威望的人在會上提出他認為的21世紀的數學問題或是以其他的形式展望21世紀的數學？這些年來，已有不少數學家提出自己認為的21世紀的數學問題，但往往是“仁者見仁，智者見智”。

二、百年前講演的啟示

對希爾伯特的23個問題，不在這里介紹了，因為它超越了中學數學的范圍。但百年前，希爾伯特演講中對數學的一些見解卻是非常深刻的，百年過去了，重讀他的演講，依然得到很多啟示。在這里我只想講一講對他演講中一段話的粗淺認識。

從17世紀60年代微積分發明以來，數學得到了極大的發展，分支也愈來愈多。開始時一些大數學家對各個分支都懂，并且做出了很大的貢獻。但后來數學的分支愈分愈細，全面懂得各個分支的數學家愈來愈少，到19世紀末，希爾伯特作講演時，已經是這種情況。于是在講演中，他說了這樣一段話：“然而，我們不禁要問，隨著數學知識的不斷擴展，單個的研究者想要了解這些知識的所有部門豈不是變得不可能了嗎？為了回答這個問題，我想指出：數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯系著，這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論并把陳舊的、復雜的東西拋到一邊，數學科學發展的這種特點是根深蒂固的。因此，對于個別的數學工作者來說，只要掌握了這些有力的工具和簡單的方法，他就有可能在數學的各個分支中比其他科學更容易地找到前進的道路�！�100年過去了，數學發展得更為廣闊與深入，分支愈來愈多，現在數學已有60個二級學科、400多個三級學科，所以希爾伯特的這段話現在顯得更為重要。不僅如此，希爾伯特的這段話實際上 講的是數學發展的歷史過程，十分深刻地揭示了數學發展是一個新陳代謝、吐故納新的過程 ，是一些新的有力的工具和更簡單的方法的發現，與一些陳舊的、復雜的東西被拋棄的過程 ，是“高級”的數學替代“低級”的數學的過程，而“數學科學發展的這種特點是根深蒂固 的”。事實上，在數學的歷史中，一些新的有力的工具、更簡單的方法的發現，往往標志著一個或多個數學分支的產生，標志著一些老的分支的衰落甚至結束。

回顧一下我們從小開始學習數學的過程，就是在重復這個數學發展的過程。一些數學雖然后來被更有力的工具和更簡單的方法所產生的新的數學所替代了，即“低級”的被“高級 ”的所替代了，但在人們一生學習數學的過程中，卻不能只學習“高級”的，而完全不學習 “低級”的，完全省略掉學習“低級”的過程。這是因為人們隨著年齡的不斷增長，學習與他的年齡與智力相當的數學才是最佳選擇。學習數學是一個循序漸進的過程，沒有“低級” 的數學打好基礎，很難理解與學習好“高級”的數學。

以下我們從希爾伯特講演中這一段精辟的論述的角度來認識我們的中小學的數學課程。我只是從數學發展的歷史的角度來討論問題，為大家從數學教育的角度來討論問題作參考。但我必須強調的是：從數學發展的歷史的角度來考慮問題與從數學教育的角度來考慮問題雖有聯系，但兩者是不一樣的。

　　三、算術與代數

人類有數的概念，與人類開始用火一樣古老，大約在30萬年前就有了，但是有文字記載的數到公元前3400年左右才出現，至于數的四則運算則更晚。在我國，《九章算術》是古代 數學最重要的著作，是從先秦到西漢中葉的眾多學者不斷修改、補充而成的一部數學著作。在這本書中有分數的四則運算法則、比例算法、盈不足術、解三元線性代數方程組、正負數 、開方以及一些計算幾何圖形的面積與體積的方法等。在西方，也或遲或早地出現了這些內 容，而這些內容包括我們從小學一直到中學所學習“算術”課程的全部內容。也就是說人類經過了幾千年才逐步弄明白建立起來的“算術”的內容，現在每個人在童年時代花幾年就全 部學會了。對于“算術”來講，“真正的進展”是由于“更有力的工具和更簡單的方法的發 現”，這個工具與方法是“數字符號化”，從而產生了另一門數學“代數”，即現在中學中的“代數”課程的內容。在我國，約13世紀五六十年代的著作中，有“天元術”和“四元術 ”，也就是相當于現在用x,y,z,w來表述四個未知數。有了這些“元”，也就可以解一些代數方程與聯立線性代數方程組了。西方徹底完成數字符號化是在16世紀�，F在中學學習的“ 代數”的內容包括：一元二次方程的解，多元（一般為二元、三元，至多四元）聯立方程組的解，等等。當然在“數字符號化”之前，一元二次方程的解、多元聯立方程組的解已經出現，例如我國古代已經有一些解一般數字系數的代數方程的“算法程序”，但這些都是用文字來表達的，直到“數字符號化”之后，才出現了現在中學代數內容的表達形式。

由“數字符號化”而產生的中學“代數”的內容，的的確確是“數學中真正的進展”。 “代數”的確是“更有力的工具和更簡單的方法”，“算術”顧名思義，可以理解為“計算的方法”，而“代數”可以理解為“以符號替代數字”，即“數字符號化”。人類從“算術 ”走向“代數”經歷了1000多年。但在中學的課程中，卻只花短短的幾年，就可以全部學會這些內容。

回憶我在童年時代，在小學學習“算術”課程時，感到很難。例如求解“雞兔同籠”題 ，當時老師講的求解的方法，現在已完全記不得了，留下的印象是感到很難，而且納悶的是 ：雞與兔為何要關在一個籠子里？既然數得清有多少個頭及多少只腳，為何數不清有多少只 雞與多少只兔？等到初中時學習了“代數”課程，才恍然大悟，這不過是二元一次聯立代數 方程組，解方程組十分簡單方便，這不僅可以用來解“雞兔同籠”，即使“鴨狗同室”的問題一樣可以解。因此，“代數”顯然比“算術”來得“高級”，這的確是“更有力的工具和 更簡單的方法”，而這些工具和方法同時會有助于理解已有的理論，并把“陳舊的、復雜的 東西拋到一邊”，也就是從“代數”的角度來理解“算術”，可以理解得更深刻，且可以把 “算術”中一些復雜的、處理個別問題的方法拋到一邊去。

　　在這里，我要重復說一遍，盡管中學的“代數”比小學的“算術”來得“高級”，是“ 更有力的工具與更簡單的方法”，但并不意味著小學的“算術”就可以不必學了，因為：（1）“算術”中的一些內容不能完全被“代數”所替代，如四則運算等；（2）即使能被替代內容，適當地學習一些，有利于對“代數”內容的認識與理解；（3）從教育學的角度考 慮，這里有循序漸進的問題，有學生不同年齡段的接受能力的問題，等等。

作為中學“代數”中的一個重要內容是解多元一次聯立方程組。在中學“代數”的教材中，一般著重講二元或三元一次聯立方程組，所用的方法往往是消元法。但是，如果變元為四個或更多時，就得另想辦法來建立起多元一次聯立方程組的理論。經過很多年的努力，矩陣的想法產生了，這不但給出了多元一次聯立代數方程組的一般理論，而且由此建立起一門新的學科——“線性代數”。這是又一次“數學中真正的進展”，由于“更有力的工具和更簡單的方法”即“矩陣”的發現，不僅對多元一次聯立代數方程組的理解更為清楚，更為深刻，而且由于有了統一處理的方法，就可以把個別地處理方程組的方法“拋到一邊”。

中學“代數”中的另一個重要內容是解一元二次方程，在古代，例如《九章算術》中已有解一般一元二次方程的方法，后來有很多的發展。直到19世紀，為了解決什么樣的特殊的代數方程能用根式來求解這個問題，伽羅瓦（1811—1832）建立起“群”的概念。這就意味著現代代數理論的產生，這是又一次“數學中真正的進展”。有了“群”以及后來發展起來的現代代數理論，使人們可以更清楚、更深刻地理解以往高次代數方程求根式解的問題。

    　四、幾何與三角

人類在很早的時候，就有各種計算面積與體積的公式或經驗，也得到了不少幾何定理，例如著名的畢達哥拉斯定理等。但在古代，幾何的代表作則是歐幾里得的《原本》。現在中學里學習的“平面幾何”與“立體幾何”的基本內容，是2300年前《原本》已有的內容。從《原本》問世以來，幾何領域一直是它的一統天下，這種現象持續了1000多年�！罢嬲�的進展”是由笛卡兒與費馬建立起的“解析幾何”，其基本思想是在平面上引進“坐標”，使得平面上的點與實數對（x,y）之間建立起一一對應的關系，于是幾何問題就可以用代數形式表達，而幾何問題的求解就歸化為代數問題的求解了。笛卡兒甚至還提出過一個大膽的計劃，即：任何問題→數學問題→代數問題→方程求解。

“解析幾何”的產生可以理解為變量數學的開始，它為微積分的產生創造了條件。由于引進了坐標，幾何問題歸結為代數問題，于是可以用一些代數的工具與方法來處理，從而使幾何問題得解，這種思想與方法，使整個數學面目為之一新。

既然“解析幾何”是“數學中一步真正的進展”，“解析幾何”比起“平面幾何”與“ 立體幾何”都來得高級，那么“平面幾何”與“立體幾何”是不是就不要學習了，直接學習 “解析幾何”就可以了呢？從教育學的觀點，這顯然是不對的。我們所說的“把陳舊的、復 雜的東西拋到一邊”，是指當“解析幾何”產生之后，那種用原來的方法來創造與發明幾何定理的時代已經過去了，雖然這種做法延續了1000多年，但這并不意味著可以將“平面幾何 ”與“立體幾何”“拋到一邊”。在中學必須學習“平面幾何”與“立體幾何”至少有以下 幾點理由：（1）可以認識人們生活的三維歐氏空間中一些最基本的幾何關系與性質；（2）不學習“平面幾何”與“立體幾何”，就無法學習“解析幾何”與“微積分”；（3）“平面幾何”與“立體幾何”是訓練學生嚴格邏輯思維的最好的方法之一，這種訓練比上一門“ 形式邏輯”課更為有效，它對學生終生有用。當然中學“平面幾何”與“立體幾何”應講授 多少內容是一個值得探討的問題，完全取消是絕對錯誤的，但做過多的幾何難題似乎也是不 必要的。

古典幾何的另一個“真正的進展”，則是“非歐幾何”的產生，這是數學史上的劃時代貢獻。

如前所述，歐幾里得的《原本》從誕生直到18世紀末，在幾何領域，它是一統天下，幾乎成為“科學圣經”。但在同時，人們多認為五條公設中的前四條簡潔、明了，無可非議，而對第五公設，即“若一直線落在兩直線上所構成的同旁內角和小于兩直角，那么把兩直線無限延長，它們將在同旁內角和小于兩直角的一側相交”，則感到它不像一條公設，而更像一條定理，即可以從其他公設、公理及定理中推導出來。

2000多年來，不知有多少數學家致力于用其他的公設、公理及定理來證明第五公設，甚 至有人為之付出了整個一生，但還是以失敗告終。直到19世紀，由高斯、波爾約及羅巴切夫 斯基創立了“非歐幾何學”，才結束了這件公案�！胺菤W幾何學”一反過去人們試圖從其他公設、公理及定理來證明第五公設的做法，認為第五公設不可能從其他的公設、公理及定理中推導出來，而發展起第五公設不成立的新的幾何學。高斯稱之為“非歐幾里得幾何學”，簡稱“非歐幾何學”。1854年黎曼在“非歐幾何學”的思想基礎上建立了更為廣泛的幾何學，即“黎曼幾何學”，開創了幾何學甚至整個數學的新紀元，而其發展更是一日千里。眾所周知，愛因斯坦的相對論正是以“黎曼幾何”作為其數學工具的。

經歷了2000多年的思索與努力，“非歐幾何”的產生的確是“數學中一步真正的進展” ，把已有的理論——歐幾里得幾何學，從更高、更深的角度去理解，而把那些陳舊的思想— —試圖用其他公設、公理及定理來證明第五公設的一切做法“拋到一邊”。

在中學數學課程中，還有一門叫“三角”。這門課程，主要討論六個三角函數的相互關系及計算。人類對三角學的研究可以追溯到公元1～2世紀。當時的天文學研究，已經為三角學奠定了基礎，例如已經有了類似于正弦及正弦的表等。經過了幾百年的努力，到9～10世 紀，三角函數的研究已系統化，到了13世紀，球面三角也基本完成。因此，現在中學學習的 “三角學”，其內容基本上在千年前就形成了。

人們從更高、更深的角度來認識“三角學”，是由于復數的引入。人們對復數的思考由來已久，例如對方程x2＋1=0的根的思考，但人們認真地將虛數=i引入數學則是16世紀的事 了。之后歐拉建立了著名的歐拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ，使得三角學中的問題都可以化 歸為復數來討論，于是三角學中一大批問題得以輕松地解決。有了復數與歐拉公式，使人們對三角學的已有理論的理解更為深刻，并可以把一些原始的、復雜的處理三角學的方法與工 具“拋到一邊”。

我還得重復一遍，盡管復數與歐拉公式比三角學來得“高級”，但并不意味著中學課程可以不學習三角學。事實上，三角學是一門實用的數學分支，在很多其他學科中都有用。

五、微積分

“微積分”實在是太重要了，不論你將來從事什么工作，理、工、醫、農、文、商等等 ，都得學“微積分”。可以這樣說，中學課程中學習的各門數學，從某種意義上講正是為學習微積分作準備的，一切大學的數學課程也都是以微積分為基礎的。

　　微積分是從四個方面的問題來的：（1）求曲線的長度、區域的面積、物體的體積等； （2）求曲線的切線；（3）求運動物體的速度；（4）求一些問題的極大、極小值。

當然，這些問題在一些簡單的情形下，可以不用微積分，但當情形略為復雜一些時，則非用微積分不可。而反過來，微積分的誕生，不僅能解決上述這些問題，而且其用處大大地超出了這些問題。

微積分的一些原始的思想，可以追溯到很遠。例如，公元3世紀誕生的劉徽的“割圓術 ”就孕育著一些樸素的微積分的想法。但是，微積分的誕生是在牛頓及萊布尼茨建立了“微 積分的基本定理”，即指出微分與積分互為逆運算之后。計算積分不再要像以前那樣想一些 特殊的辦法進行逐個處理，而可以統一處理了，從而使微積分不再成為幾何學的一部分，而 成為一門獨立的學科。

微積分的建立不僅使得數學的面貌徹底改變，而且將微積分應用到其他學科，使整個自然科學也徹底地改變了面貌。

　　牛頓與萊布尼茨的微積分基本定理的建立，促使了微積分的產生，的確是“數學中一步 真正的進展”，的確是“更有力的工具和更簡單的方法的發現”。這不僅有助于我們對已有理論的理解，如使我們對前面提到的四個問題原有的理解，更為清楚與深刻，而且的確可以 把以往“陳舊的、復雜的東西拋到一邊”，例如，對個別曲線用一些特殊的方法來計算其面 積與切線的方法都可以拋棄了。

　　六、幾點啟示

（1）一門學科的產生往往有多方面的因素，我在這里只說了一個因素，而這個因素在我看來是主要因素之一。

（2）一門學科對其他學科的影響也是多方面的，例如，中學的“ 代數”課程，從方程式的角度導致了“線性代數”及“抽象代數”的產生，但從排列組合的 角度導致了組合數學的產生；又例如，“非歐幾何”的產生，引發了“幾何基礎”的深入討 論等。

　　從上面的論述中，我們已經發現，導致“數學中一步真正的進展”的“更有力的工具和 更簡單的方法”往往是由于看來是十分簡單明了的想法。如從算術走向代數，關鍵的一步是 “數字符號化”，即將數字用a,b,c，…x,y,z來表示。但正是這簡單的一步，引發了“數學 中一步真正的進展”，而人們認識到“數字符號化”，卻花了上千年的時間。同樣，由“平面幾何”“立體幾何”走向“解析幾何”，關鍵的一步是“引進坐標”，即將平面的點與數一一對應。現在看來這一步也是十分自然的，人們是樂于接受的，但正是這樣看似簡單的一 步，引發了“數學中一步真正的進展”。對于其他的情形，也是一樣，不在此一一重復了。

仔細想想，“數字符號化”比算術中的一道難題可能更易于理解，“數字符號化”之后 ，解算術難題則輕而易舉。同樣“引入坐標”，比“平面幾何”中的一道難題的解可能更易 于理解，“引入坐標”之后，解幾何難題則比較容易了。當然，“代數”比“算術”來得“ 高級”，“解析幾何”比“平面幾何”來得“高級”，可“高級”的反而容易，“低級”的反而難，這就是“高”“低”與“難”“易”之間的辯證關系。而更令人深思的是：重要的 是要有創新的思想，“數字符號化”“引入坐標”這些看似簡單的想法，卻是創新思想。有了這種創新思想，才會有“數學中一步真正的進展”，否則即使是解決“算術”難題的能人，是做“平面幾何”難題的高手，如果無這種創新思想，那么難題做得再多，也不可能引發 “數學中一步真正的進展”。當然，這種創新思想來之不易，往往要經過幾百年乃至千年的 積累才能形成。經過了長期的積累，走向成熟，就會有數學大師總結與提升前人的成果，進而提出這種創新的思想，這就是數學的歷史。

當然，我這樣說，并不是否定做一些算術或幾何的難題。從培養學生學習數學的能力來看，讓學生花太多的時間來做太多的難題當然不必要，但適當地讓學生做一些數學難題還是必要的，對培養學生的創新思想是有好處的，因為創新思想不是一天能培養出來的，要日積月累，有一個從量變到質變的過程。看看歷史上的那些大數學家，哪一位沒有做過難題？從教學的角度來看，問題是要適量。至于中小學教師，為了提高教學質量，對一些難題進行研究、分析與探討，那是理所當然的事。從因材施教、提高同學們學習數學的興趣與能力的角度出發，來舉辦一些數學活動，如“數學競賽”等有意義的活動更是必要的了。從數學發展的歷史角度與從數學教育的角度來考慮問題終究是不一樣的。

如果以上算作數學歷史的一點啟示，那么以下所說的也可以算作數學歷史的另一點啟示 。

從上述的敘述中還可以看到，數學的歷史也像戰爭史�！耙粚⒐Τ扇f骨枯”！想想從歐幾里得的《原本》誕生之后，幾千年來，不知有多少數學家前仆后繼地試圖用其他公設、公理及定理來證明第五公設。這些人都失敗了，他們都默默無聞，數學史上沒有記載他們的名字。但正是由于千千萬萬個無名的數學家的失敗，才導致了高斯、波爾約、羅巴切夫斯基從另外的角度來處理這個問題。他們成功了，他們成了英雄，但他們的成功是在幾千年來千千萬萬個數學家失敗的基礎上獲得的，所以可以說是“一將功成萬骨枯”！

同樣自從二次、三次及四次一元代數方程式得到根式解后，幾百年來，也不知有多少數學家前仆后繼地試圖找到五次及更高次一元代數方程式的根式解，但他們都失敗了。這些人在數學史上默默無聞，誰也不會記起他們的名字，但他們的犧牲，導致了拉格朗日、阿貝爾與伽羅瓦從新的角度來考察這個問題。他們成功了，名垂數學史，但他們的成功也是在幾百年來無數默默無聞的數學家失敗的基礎上獲得的。這也可說是“一將功成萬骨枯”！

這樣的例子還可以舉出很多。

這些數學的歷史，給我們以深刻的啟示：我們應該如何來選擇數學問題，如何來思考與處理數學問題，才能盡量避免不必要的犧牲，獲得成功。

百年前，希爾伯特在他那著名的講演中，用以下這段話作為結束語：“數學的有機統一 ，是這門科學固有的特點，因為它是一切精確自然科學知識的基礎，為了圓滿實現這個崇高的目標，讓新世紀給這門科學帶來天才的大師和無數熱誠的信徒吧！” 我深信，21世紀一定會“給這門科學帶來天才的大師”，而且其中肯定有許多來自我們中國！

2004年4月14日

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