近日，中國科學院院士、數學家楊樂在參加中國科學院數學與系統科學研究院、中國科學院研究生院數學院共同舉行的2008年度研究生工作會議上，以自己做研究生和作研究的經歷，講述了博士生訓練的要義和目的。他說：“做數學的博士論文，題目應適當‘寬大’一些，討論的范圍太狹窄，就難以成為一篇好的學位論文。導師心中最常有的是兩類問題，一類是所在領域的著名難題，另一類則是導師胸有成竹的問題，即導師完全知道該問題如何做，只是由于意義不大等原因而未撰文。應該說，這兩類問題都說不上是研究生論文的好選題。”

首要的是選題

楊樂認為，博士生階段有兩項任務，一是要打下較廣博的基礎，二是在導師指導下，受到一次完整的研究工作訓練，做出合格的學位論文。但第二項比第一項更重要，更能直接反映出研究水平的高低。一項研究工作的全過程訓練，包括確定課題、閱讀文獻、攻克難關、擴大戰果、撰寫論文這樣一個完整過程。“等拿到博士學位后，就要走上獨立研究的道路，這時就沒人帶你了。”楊樂說。

做博士論文首先涉及選題問題。楊樂強調，選題要有較高的起點，要挑選研究領域中具有重要意義的問題。首先，應選一個較大的領域或方向，這可根據該學科的國際潮流與趨勢、自己的興趣以及指導教師的特長等因素來確定。學位論文的題目要“寬大”一些，討論的范圍太狹窄，就難以成為一篇好的學位論文。

楊樂認為，讀博士是學習作研究的開始，而且有一定的時間限制，像哥德巴赫猜想這樣的世界著名難題就不適合做博士論文。

對于有的老師會給研究生一個比較專門或狹窄的問題的做法，楊樂認為，就一般情況而言，這種做法不夠妥當。這會使他們的注意力一開始就集中到這個狹窄的方面，而對整個研究領域的基礎打得不夠，眼界也會受到限制。
應該怎么選擇博士論文的題目呢？“我覺得有這樣幾個因素，一是濃厚的興趣。二是了解國際上的潮流和動態。所確定的方向應該有長久的生命力，或者最好是國際上剛剛有些苗頭或剛興起的，這樣會有較長遠的發展潛力。第三，也要看所在機構的指導力量，在這個方面是否有基礎。”

過去，教育部曾規定，博士論文要超過100頁。楊樂說，作這樣的篇幅規定也許不一定適合，但它的道理是博士論文并非全部都是創造性的成果，其中有相當篇幅是對選題所在領域或方向的一個總結。相關文獻要讀得很透，消化后再用自己的觀點和語言將這方面的工作作一個很好的總結；同時，博士論文應該包括創新成果。因此，博士論文并不完全等同于寫一篇研究論文。

研讀文獻是重要一環

楊樂建議，在確定了一個較大的研究領域和方向后，不要急于確定所要研究的問題，而是應刻苦研讀文獻，這是研究工作中十分重要的一環。對一些歷史較長、較成熟的學科來說，往往有這方面的專著，有的甚至不止一本，這時就有許多取舍，要閱讀該領域中的經典專著。

據楊樂回憶，他和張廣厚1962年從北京大學數學系畢業后，考入中國科學院數學研究所讀研究生，師從數學家熊慶來，從事函數值分布論的研究。該領域的研究歷史相當悠久，專著很多，有些專著甚至多達六七百頁。

當時，熊慶來先生年紀已經很大了，他對楊樂和張廣厚說：“我年事已高，不能對你們提供太多的具體幫助，但老馬識途。”比如，剛開始時，他就具體指導他們看一本只有100余頁的函數值分布論的書，作者是現代函數值分布論的創始人Ｒ．奈望林納。雖然只有100多頁，但讀完后就可以把函數值分布理論的要領完全掌握了。

楊樂感慨地說，有些六七百多頁的精裝書，看起來內容很豐富，其實并沒有抓住函數值分布最重要的東西，而是不斷地在外部兜圈子。

除了經典著作，楊樂建議閱讀基本文獻，因為盡管它們可能是距現在二三十年前的事了，但常常包括了該領域解決問題的一些原始思想和方法，對現在的發展依然有相當的影響。同時，還要閱讀最新文獻，“要不然花了很多功夫去做得成果后，發現原來三年前別人已經發表了相同的工作，這就很可惜”。

楊樂強調，要帶著研究的性質來閱讀重要文獻，不單是知道論文一步步的推理，而且要反復分析、揣摩、鉆研論文的精神實質，提煉出作者解決這些問題時的原始思想。

“現在，經常會有些水平不太高的論文，主要問題是作者對人家所做的工作鉆研得不夠深，沒有掌握問題的實質，而只是在形式上看懂了別人的東西，于是，在某些地方算得更細一些，或者在已有的框架中再做得稍微廣一點。這樣的工作不是完全沒有意義，但基本上是在人家的框架中轉，缺少自己的創新。”

刻苦攻關 擴大戰果

楊樂認為，一般來講，在非常認真地閱讀了文獻后，應該對這個領域的發展、主要成果、解決問題的主要思路和方法等，有了比較好的把握，這時，就可以在這個方面提出一些問題，而且試圖解決它。

不過，他也提醒，但凡想解決比較有意義的問題，過程都不可能一帆風順。對一位研究人員來說，最重要的是能夠在曲折面前堅持不懈。這種不斷克服困難、苦思冥想的過程，很像王國維提出的做學問的三種境界。

第一境界是“昨夜西風凋碧樹，獨上高樓，望盡天涯路”。數學研究做深入后，學者人數就不多了，有時好像是一個人在攀登，可能很孤獨，但必須耐得住寂寞，不斷往上攀登，站得高，望盡天涯路。

第二境界是“衣帶漸寬終不悔，為伊消得人憔悴”。主要是攻關，作研究時遇到難關，要不斷地思考，可能到了晚上想出一種辦法，繼續往前，但到深夜1點時又走不通了，只得睡下；清晨5點醒來，腦子還在想這個問題；起床接著做，早餐和午餐也食而不知其味，這種情況可能持續一些時日。

第三境界，“夢里尋他千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”。為了一個問題朝思暮想了幾個星期，用盡各種辦法都不行，但最后用了一個看起來是偶然的機會或辦法，卻發現答案就在燈火下面，清清楚楚。

楊樂強調，在研讀文獻、刻苦攻關、取得有相當意義的成果后，還要想方設法擴大戰果，“比如說，在克服這個困難時想來的辦法是否可以用于處理其他問題，或者用這個方法得出的成果是不是有其他應用？”

他談到了自己和張廣厚的合作研究

“我和張廣厚在研究生即將畢業時，‘文革’開始了，我們被分配到部隊農場勞動。1972年左右，雖然‘文革’還沒有結束，但科學院還比較幸運，可以作一些研究了。這時，國內的研究長期停頓，所以，我們首先看這個領域國際上有哪些進展。我們很認真地閱讀了文獻，刻苦攻關，做出一些不錯的工作，把函數值分布理論的一個著名結果的適用范圍擴大了許多，這是一篇相當好的文章。但如果我們的工作就停留在那個地方，就很可惜了。”

“實際上過了不久，我們發現如果將這篇文章中所得到的方法從不同角度思考，可以得到更有價值的東西，而且創新性更強。這樣，我們就發表了第二篇論文。第一篇論文不錯，但成果不是那么突出，因為規律已經有了，我們只是將它的適用范圍擴大得比較多；但我們的第二個成果就突出得多，因為整函數與亞函數模分布的基本概念虧值和輻角分布論的基本概念波萊爾方向雖然以往都有大量研究，然而，人們以為它們完全不同，二者沒有任何聯系，我們的結果揭示了虧值與波萊爾方向之間存在深刻的關聯，這就是我們的研究特色。論文在1975年發表后，獲得了國際同行的高度評價。”

不要輕視論文撰寫

楊樂告誡博士生們，“不要輕視撰寫論文這一環節。”

“同學們也許會認為，成果有了，草稿也寫好了，寫論文不是輕而易舉嗎？其實不是這樣。”他解釋說，論文推理如何更為嚴謹、如何做到表達與敘述清晰易懂、形式更加美好等，這也是十分重要的。他自己在上世紀60年代做研究生時，曾在《中國科學》等期刊上發表了5篇論文，每篇論文從初稿到投稿發表，至少要改寫三遍，最后常常改寫得面目全非，但確實有了更好的表達形式。

要獲得好的表達形式，撰寫論文的功夫非常重要。楊樂回憶說：“20世紀70年代初，我和張廣厚一起做論文，我們不斷地相互討論，但因為他當時有視網膜炎，所以撰寫論文的工作是由我做的。應該說他對整個工作都很清楚，但等我撰寫完論文時，他開玩笑說，‘這篇文章我都看不懂了，’意思是說，撰寫論文很有講究。”

楊樂最后表示，研究工作的特點在于創新，因而沒有固定的途徑與方法，即“法無定法”。因此，他的意見“僅供參考”。

攝影：王林

返回  《 數學論壇 》