分形圖展現(xiàn)了不可抗拒的數(shù)學(xué)之美！
自然，許多相關(guān)的分形會(huì)產(chǎn)生漂亮的令人感興趣的圖形。實(shí)際上，一些今天被認(rèn)為是分形的外形早在許多年之前就已發(fā)現(xiàn)。這種數(shù)學(xué)的某些內(nèi)容發(fā)表在1875年到1925年期間法國數(shù)學(xué)界亨利·龐加萊
、皮埃爾·法圖和加斯頓·朱麗亞等人的著作中。但沒有人意識到它們作為形象描述的工具以及它們與真實(shí)世界有關(guān)這兩方面的重要意義。
曼德爾布羅特憑著自己的興趣并無確定目的地畫了許多被稱為“朱麗亞（Julia）集”的圖形。這些集合成為“復(fù)平面上有理映射迭代理論”的一部分。早遠(yuǎn)1918年加斯頓·朱麗亞和費(fèi)特（P.Fatou）的著名論文就研究過這個(gè)理論，并取得了一定的進(jìn)展，但之后就停滯不前了，一直沉睡到1979年。曼德爾布羅特為什么又追溯到這些論文呢？因?yàn)樵谒?0歲時(shí)，在他的叔叔（一位杰出的純數(shù)學(xué)家和復(fù)合分析家）的推薦下，他就仔細(xì)研究過這些文章，并對他的一生產(chǎn)生了重要的影響。一個(gè)直接的結(jié)果是，這些文章使曼德爾布羅特放棄了研究數(shù)學(xué)的通常的模式。1945年，朱麗亞是曼德爾布羅特在多藝學(xué)校念書時(shí)的老師，這更使他對今后的研究方向矢志不移。35年后曼德爾布羅特要在迭代理論復(fù)興中居于領(lǐng)先地位，迭代理論的研究使他更接近于數(shù)學(xué)研究的主流。
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德爾布羅特積累了大量有關(guān)朱麗亞集的漂亮圖形，人們終于從直觀上理解了朱麗亞和費(fèi)特一直在探討的問題。我們看到幾乎所有的朱麗亞集都是非常之美。
但是，曼德爾布羅特的興奮很快平靜了，他為自己確定一個(gè)重要的任務(wù)：選擇一族帶的一個(gè)復(fù)參數(shù)的有理映射，研究使映射的動(dòng)態(tài)收斂到穩(wěn)定的大小不同的極限環(huán)的參數(shù)區(qū)域。
曼德爾布羅特研究中最精彩的部分是1980年他發(fā)現(xiàn)的并以他的名字命名的集合，他發(fā)現(xiàn)整個(gè)宇宙以一種出人意料的方式構(gòu)成自相似的結(jié)構(gòu)。 |
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曼德爾布羅特集合圖形的邊界處，具有無限復(fù)雜和精細(xì)的結(jié)構(gòu)。如果計(jì)算機(jī)的精度是不受限制的話，你可以無限地放大她的邊界。當(dāng)你放大某個(gè)區(qū)域，它的結(jié)構(gòu)就在變化，展現(xiàn)出新的結(jié)構(gòu)元素。
分形學(xué)告訴我們，自然界中簡單的行為可以導(dǎo)致復(fù)雜的結(jié)果。例如，大型團(tuán)體操中每個(gè)人穿的衣服只有幾種顏色中的一種，每個(gè)人的動(dòng)作也只是導(dǎo)演規(guī)定的幾種之一。但是整體上可以顯示出多種多樣的復(fù)雜形態(tài)。 |
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左圖為由Julia集產(chǎn)生的類似塵埃的結(jié)構(gòu)。在傳統(tǒng)幾何學(xué)中難以找到如此簡單的規(guī)律隱藏著如此復(fù)雜而生動(dòng)的例子。
這正如前面提到的“蜿蜒曲折的一段海岸線”，無論您怎樣放大它的局部，它總是曲折而不光滑，即連續(xù)不可微。微積分中抽象出來的光滑曲線在我們的生活中是不存在的。因此可以說，曼德爾布羅特集合是向傳統(tǒng)幾何學(xué)的挑戰(zhàn)。
在1979年時(shí)，他們得到的圖形還非常粗糙，但是它給了曼德爾布羅特一個(gè)信息，他們的課題值得繼續(xù)研究。從上圖我們可以看出，曼德爾布羅特集圖形非常地美麗，但它的生成原理卻十分的簡單。
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這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡單與和諧之美。只要進(jìn)行這樣的迭代：Zn+1 =Z2n +C
，給定 為一個(gè)初始的復(fù)數(shù)，而對不同的C，迭代序列{Zn}∞n=0有界的所有C值構(gòu)成的集合，即MZ0 ={C|迭代序列{Zn}∞n=0有界},則稱MZ0在復(fù)平面上構(gòu)成的集合為Mandelbrot集。
關(guān)于朱麗亞（Julia）集
加斯頓·朱麗亞（Graston Julia，1893--1978），法國數(shù)學(xué)家，1919年研究迭代保角變換ZN+1=ZN2+c，能產(chǎn)生令人眼花繚亂的圖案，由于當(dāng)時(shí)沒有計(jì)算機(jī)，還不能象今天把如此美妙絕倫的圖案奉獻(xiàn)于世界。
朱麗亞（Julia）集合是在復(fù)平面上，水平的軸線代表實(shí)數(shù)，垂直的軸線代表虛數(shù)。每個(gè)Julia集合（有無限多個(gè)點(diǎn)）都決定一個(gè)常數(shù)C，它是一個(gè)復(fù)數(shù)。現(xiàn)在您在復(fù)平面上任意取一個(gè)點(diǎn)，其值是復(fù)數(shù)Z。將其代入下面方程中進(jìn)行反復(fù)迭代運(yùn)算：Zn+1=Zn2+c。 即用原來的Z自乘，再加上C后的結(jié)果作為新的Z。不停地重復(fù)這個(gè)運(yùn)算過程。
最后將得到的Z值有三種可能性：
1、Z值沒有界限增加（趨向無窮）
2、Z值衰減（趨向于零）
3、Z值是變化的，即非1或非2 趨向無窮和趨向于零的點(diǎn)叫定常吸引子，很多點(diǎn)在定常吸引子處結(jié)束，被定常吸引子所吸引。非趨向無窮和趨向于零的點(diǎn)是“Julia集合”部分，也叫混沌吸引子。
考察迭代計(jì)算結(jié)果，因?yàn)镴ulia集是有固定的c，根據(jù)迭代結(jié)果給點(diǎn)位置著色，繪出形態(tài)各異的圖形圖形。
為了更好的編程繪制Julia集并實(shí)現(xiàn)其高階的迭代，先設(shè)如下：
（1） 取方程為Zn+1 =Znk+C進(jìn)行迭代。
（2） Z的模小于2，迭代次數(shù)不超過50。
（3）對于Z在平面上表示時(shí)，設(shè)xx為x的初始迭代坐標(biāo)，yy為y的初始迭代坐標(biāo)坐標(biāo)表示。所取的變量范圍為（cx，cy），分別為x與y的范圍，迭代次數(shù)為n。
曼德爾布羅特擅長于形象的、空間的思維，他具有把復(fù)雜問題化為簡單的、生動(dòng)的、甚至彩色的圖象的特殊本領(lǐng)。他是一個(gè)兼有數(shù)學(xué)，特別是幾何學(xué)與計(jì)算機(jī)靈感與技能，還有藝術(shù)細(xì)胞的多方面才能的不可多得的人才。
曼德爾布羅特用分形圖呈現(xiàn)給人們的數(shù)學(xué)之美是無以倫比，不可抗拒的。人們一看到它，就被它之后的數(shù)學(xué)的簡潔美與奇異美征服了。
請看《分形幾何是洞察事物結(jié)構(gòu)本質(zhì)的鑰匙》
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