分形幾何是洞察事物結構本質的鑰匙

客觀自然界中許多事物，具有自相似的“層次”結構，在理想情況下，甚至具有無窮層次。適當的放大或縮小幾何尺寸，整個結構并不改變。不少復雜的物理現象，背后就是反映著這類層次結構的分形幾何學。　 

人們發現客觀事物有它自己的特征長度，要用恰當的尺度去測量。用尺來測量萬里長城，嫌太短；用尺來測量大腸桿菌，又嫌太長。從而產生了特征長度。還有的事物沒有特征尺度，就必須同時考慮從小到大的許許多多尺度（或者叫標度），這叫做“無標度性”的問題。如物理學中的湍流，湍流是自然界中普遍現象，小至靜室中繚繞的輕煙，巨至木星大氣中的渦流，都是十分紊亂的流體運動。流體宏觀運動的能量，經過大、中、小、微等許許多度尺度上的漩渦，最后轉化成分子尺度上的熱運動 ，同時涉及大量不同尺度上的運動狀態，就要借助“無標度性”解決問題，湍流中高漩渦區域，就需要用分形幾何學。

在20世紀70年代，法國數學家曼德爾布羅特在他的著作中探討了英國的海岸線有多長？這個問題這依賴于測量時所使用的尺度。　

分形幾何作為洞察事物結構本質的鑰匙，揭示的是一種復雜性之中的簡單性，分數維則被證明是一種合適的尺度。在某種意義上，分數維對應于不規則性填充空間的能力。一條歐幾里得的一維直線不占據任何空間，而以無限長度充斥有限面積的科赫曲線，其外廓線卻占據了空間。它多于一根直線而又少于一個平面；它大于一維卻又不到二維。仔細觀察科赫曲線，它是以4／3倍乘無限擴展開來，計算出來的維數大約是1．2618。
　　

愛因斯坦說：“自然規律的簡單性也是一種客觀事實，而且正確的概念體系必須使這種簡單性功主觀方頂和客觀方面保持平衡。”簡單性原則總是科學發展的個種推動力。問題是過去不恰當地把它和復雜性對立起來，用它來否認事物的復雜性和整體性，結果導致簡單化的傾向。 當我們用相空間的軌線來描述系統的變化時，“無窮嵌套的自相似結構”指的就是這種運動軌跡的幾何形態。

換句話說，非整數維數給出了一個對混沌吸引子的識別依據。混沌吸引子是分數維圖形，即在不斷被放大時可以顯示出越來越多的細節的圖形，從而揭示出混沌之中隱藏著的秩序，為在種種不同的復雜系統中發現規律性開辟了道路。

分數維形態對于混沌運動的描述是必不可少的。就象無理數遠多于有理數的道理一樣，非整數維給混沌運動的奇異軌道的構型提供了充分的選擇余地。對于混沌，這種結構不一定指它的實際形狀，而是指它的行為特征。

為檢驗這種數學工具是否適當，我們把模型的數值特征和真實事物相比較——例如，比較山巒的分形維數。然而，這還不夠，我們還要用計算機作圖以檢驗這種數學工具是不是好。

事物是復雜的，但復雜性并非隨機性，也并非偶然性。分形理論發展了觀察客觀性新的思維方式，在那些令人望而生畏的復雜現象中，它發現并找到了如下規律性：

第一，無限自相激。如果想到埃菲爾鐵塔，你便會茅塞頓開。埃菲爾鐵塔是謝賓斯基討墊的三維類似物，它的小梁、構架每大梁“不斷分”成構件更紉的格式，精細的網絡結構渾然一體，這類尺度越來越紉的重復結構完全展示了一個新天地。

第二，標度無關性。當曼德爾布羅特通過IBM計算機對一些貨物的價格數據進行價格分析，他發現了令人詫異的情況。從正態分布偽觀點來看是反常的數據，從標度的觀點來看卻出現了對稱牲。每個特殊的價格變化是偶然的和不可預測的，但變化的序列卻與標度無關：每天價格變化的曲線和每月價格變化的曲線相當吻合。更驚人的是，根據曼德爾布羅特的分析，價格變化的程度，竟在發生過兩次世界大戰和一次經濟大蕭條的劇烈動蕩的60年中保持不變。

第三，比例對稱。標度無關性必然意味著比例對稱。在一種尺度上去尋找圖形（如海岸線），都是無規率的。但在不同尺度上同時去尋找圖形，我們卻找到了規律性，即不規則程度在不同尺度上重復疊合。這不是左右高低的對稱，而是大小比例的對稱。

對于歐幾里得幾何所描述的整形來說，可以由長度、面積、體積來測度。但用這種辦法對分形的層層細節做出測定是不可能的。曼德爾布羅特放棄了這些測定而轉向了維數概念。分形的主要幾何特征是關于它的結構的不規則性和復雜性，主要特征量應該是關于它的不規則性和復雜性程度的度量，這可用“維數”來表征。

分形學研究對象的這種幾何特征是過去傳統的數學方法所從未涉及的，它提出的方法，是從一個新的視角和新的思路來研究現實世界，它關注更多的是自然界的真實的常態，而不僅僅是有限種標準形態和現象。這是數學與現實更走近了一步。