大家知道，小水滴在高空中受到上升氣流的推動，在云層中忽上忽下，越積越大并形成冰，最后突然落下來，變成冰雹。 

“冰雹猜想”就有這樣的意思，它算來算去，數字上上下下，最后一下子像冰雹似地掉下來，變成一個數字：“1”． 

　　這個數學猜想的通俗說法是這樣的：任意給一個自然數N，如果它是偶數，就將它除以2，即將它變成。對任意的一個自然數施行這種演算手續，經有限步驟后，最后結果必然是最小的自然數1。 
　　對這個猜想，你不妨任意挑幾個數來試一試： 

若 N=9，則 9×3＋1=28， 28÷2=14， 14÷2=7， 7×3＋1=22，22÷2=11，11×3＋1=34，34÷2=17，17×3＋1＝52，52÷2＝26， 26÷2＝13，13×3＋1=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

你看，經過19個回合(這叫“路徑長度”)，最后變成了“1”。

若 N=120，則120÷2=60，60÷2=30，30÷2=15，15×3＋1=46，46÷2=23，23×3＋1=70，70÷2=35，35×3＋1=106，106÷2=53，53×3＋1=160，160÷2=80，80÷2=40，40÷2=20，20÷2=10，10÷2=5，5×3＋1=16，16÷2=8，8÷2=4，4÷2=2，2÷2=1。

你看，經過20個回合，最后也仍然變成了“1”。

有一點更值得注意，假如N是2的正整數方冪，則不論這個數字多么龐大，它將“一落千丈”，很快地跌落到1。例如： N=65536=216 則有：65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→32→16→8→4→2→1。

你看，它的路徑長度為16，比9的還要小些。 

我們說“1”是變化的最終結果，其實不過是一種方便的說法。嚴格地講，應當是它最后進入了“ 1→4→2→1”的循環圈。這一結果如此奇異，是令人難以置信的。曾經有人拿各種各樣的數字來試，但迄今為止，總是發現它們最后都無一例外地進入“1→4→2→1”這個死循環。已經驗證的最大數目，已達到1099511627776。

由于數學這門科學的特點，盡管有了如此眾多的實例，甚至再試驗下去，達到更大的數目，但我們仍不能認為“冰雹猜想”已經獲得證明，因此還只能稱它為一個猜想。

（在我們所查閱的資料中，尚未見到對這一猜想的完整證明。）可想而知，要證明它或推翻它，都是很不容易的，要設法說出它的實質，也似乎是難上加難。

不僅如此，對于“角谷猜想”，人們在研究過程中或作出了改動，或進行了推廣，得出的結果同樣富有奇趣。比如，對于“角谷猜想”若作如下更動：
　　任給一個自然數，若它是偶數，則將它除以2；若它是奇數，則將它乘以3再減1．……如此下去，經過有限次步驟運算后，它的結果必然毫無例外地進入以下三個死循環： 

①1→2→1；②5→14→7→20→10→5； 
　　③17→50→25→74→37→110→55→164→82→41→122→61→182→91→272→136→68→34→17． 
　　親愛的讀者，你能對它們作出證明嗎？更進一步，你能作出新的發現，為數學這個百花園增添新的奇光異彩嗎？