有趣的回文數(shù)

我國(guó)古代有一種回文詩(shī)，倒念順念都有意思，例如“人過(guò)大佛寺”，倒讀起來(lái)便是“寺佛大過(guò)人”。還有經(jīng)典的對(duì)聯(lián)“客上天然居，居然天上客”。此種例子舉不勝舉。

在自然數(shù)中也有類似情形，比如1991就是一個(gè)很特殊的四位數(shù)，從左向右讀與從右向左讀竟是完全一樣的，這樣的數(shù)稱為“回文數(shù)”。這樣的年份，在20世紀(jì)是僅有的一年。過(guò)了1991年，需要再過(guò)11年，才能碰到第二個(gè)回文數(shù)2002。 

例如，人們認(rèn)為，回文數(shù)中存在無(wú)窮多個(gè)素?cái)?shù)11，101，131，151，191……。除了11以外，所有回文素?cái)?shù)的位數(shù)都是奇數(shù)。

道理很簡(jiǎn)單：如果一個(gè)回文素?cái)?shù)的位數(shù)是偶數(shù)，則它的奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)字和必然相等；根據(jù)數(shù)的整除性理論，容易判斷這樣的數(shù)肯定能被11整除，所以它就不可能是素?cái)?shù)。

人們借助電子計(jì)算機(jī)發(fā)現(xiàn)，在完全平方數(shù)、完全立方數(shù)中的回文數(shù)，其比例要比一般自然數(shù)中回文數(shù)所占的比例大得多。例如11²=121，22²=484，7³=343，11³=1331，11⁴=14641……都是回文數(shù)。

人們迄今未能找到五次方以及更高次冪的回文數(shù)，于是數(shù)學(xué)家們猜想：不存在n^k（k≥5；n、k均是自然數(shù)）形式的回文數(shù)。 

人們?cè)谟糜?jì)算機(jī)計(jì)算回文數(shù)的過(guò)程中還發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的規(guī)律：任何一個(gè)自然數(shù)與它的倒序數(shù)相加，所得的和再與和的倒序數(shù)相加，……如此反復(fù)進(jìn)行下去，經(jīng)過(guò)有限次步驟后，最后就有可能得到一個(gè)回文數(shù)。但這也僅僅是個(gè)猜想，因?yàn)橛行��?shù)并不“馴服”。比如說(shuō)196這個(gè)數(shù)，按照上述變換規(guī)則重復(fù)了數(shù)十萬(wàn)次，仍未得到回文數(shù)。但是人們既不能肯定運(yùn)算下去永遠(yuǎn)得不到回文數(shù)，也不知道需要再運(yùn)算多少步才能最終得到回文數(shù)。