1640年費馬在數論領域留下一個不可磨滅的足跡，他思考這樣一個式子：2^(2^n) + 1 的值是否一定為素數。當n取0、1、2、3、4時，這個式子對應值分別為3、5、17、257、65 537
，費馬發現這五個數都是素數。
由此，費馬提出一個猜想：形如2^(2^n) + 1的數一定為素數。由于F5太大（F5 ＝4 294 967 297），費馬沒有再往下繼續進行驗證。費馬在給朋友的一封信中寫道：“我已經發現形如2^(2^n) + 1的數永遠為素數。很久以前我就向分析學家們指出了這個結論是正確的。”
費馬同時坦白地承認，他自己未能找到一個完全的證明。
費馬所研究的Fn=2^(2^n) + 1這種具有美妙形式的數，被人稱之為費馬數。就這樣費馬提出了一個猜想：所有費馬數都一定是素數。費馬的判斷是正確的嗎？
要驗證費馬的猜想并不容易。因為隨著n的增大，Fn 迅速增大。比如對后人來說第一個需要檢驗的F5＝4 294 967 297已經是一個十位數了。大約過了近百年，他的猜想被證明是錯的。費馬過分相信自己的直覺，做出了一個錯誤猜測。后來的研究的證明了費馬不但是錯的，而且是大錯特錯呢！
1729年12月1日，哥德巴赫在寫給歐拉的一封信中問道：“費馬認為所有形如2^(2^n) + 1的數都是素數，你知道這個問題嗎？費馬說他沒能作出證明。據我所知，也沒有其他任何人對這個問題作出過證明。”
這個問題引起了歐拉的興趣。1732年，年僅25歲的歐拉驗證發現了F5 ＝641×6 700 417，其中641=5×27+1，這一結果意味著F5
是一個合數。歐拉之后，又有人發現F6＝27 477×67 280 421 310 721，也是合數。令人驚奇的是，陸續有數學家發現F77，F8……，直到F19以及許多n值很大的Fn全都是合數。
此后人們對更多的費馬數進行了驗證。計算機的發明使計算的過程大大簡化了，計算機成為數學家研究費馬數的有力工具。但即使如此，在所知的費馬數中竟然沒有再添加一個費馬素數。迄今為止，費馬素數除了被費馬本人所證實的那五個外竟然沒有再發現一個！因此人們開始猜想：在所有的費馬數中，除了前五個是素數外，其他的都是合數。但是目前能判斷它是素數還是合數的也只有幾十個，除費爾馬當年給出的5個外，至今尚未有新的素數發現。人們開始猜測：費馬數是否只有有限個？除了那5個素數之外，是否再也沒有了？這兩個問題至今也沒有解決，成為數學中的一個謎。
費馬數與尺規作圖：出人意料的結合
二千多年前，古希臘數學家曾深入研究過一類作圖問題，即：如何利用尺規作內接正多邊形。早在《幾何原本》一書中，歐幾里得就用尺規完成了圓內接正三邊形、正四邊形、正五邊形，甚至正十五邊形的作圖問題。然而，似乎更容易完成的正7、9、11……邊形卻未能做出。讓后來數學家尷尬的是，歐幾里得之后的2000多年中，有關正多邊形作圖仍停留在歐幾里得的水平上，未能向前邁進一步。
因此，我們可以想象得到，當1796年年僅19歲的高斯宣布他發現了正十七邊形的作圖方法時，會在數學界引起多么巨大的震憾了。
不過，高斯的結果多少顯得有些奇怪。他沒有完成正七邊形或正九邊形等的作圖，卻偏偏隔下中間這一些直接完成了正十七邊形。為什么第一個新做出的正多邊形是正十七邊形而不是正七、九邊形呢？
在高斯的偉大發現之后，問題仍然存在：正七邊形或正九邊形等是否可尺規完成？或者更清楚地闡述這個問題：正多邊形的邊數具有什么特征時，它才能用尺規做出？
在經過繼續研究后，高斯最終在1801年對整個問題給出了一個漂亮的回答。高斯指出，如果僅用圓規和直尺，作圓內接正n邊形，當n滿足如下特征之一方可做出：
（1）n=2m；（ 為正整數） （2）邊數n為素數且形如 n=22t（t+1=0 、1、2……）。簡單說，為費馬素數。 （3）邊數 n具有n=2mp1p2p3...pk ，其中p1、p2、p3…pk為互不相同的費馬素數。 由高斯的結論，具有素數p條邊的正多邊形可用尺規作圖的必要條件是p為費馬數。由于我們現在得到的費馬素數只有前五個費馬數，那么可用尺規作圖完成的正素數邊形就只有3、5、17、257、65537。進一步，可以做出的有奇數條邊的正多邊形也就只能通過這五個數組合而得到。這樣的組合數只有31種。而邊數為偶數的可尺規做出的正多邊形，邊數或是2的任意次正整數冪或與這31個數相結合而得到。
就這樣，正多邊形作圖問題與費馬數極其密切地聯結在一起了！數學的一大魅力在于：看似全然無關的問題竟能以出人意料的方式彼此聯系在一起。透過“數學王子”高斯的杰出發現，人們確實可以從中充分領略到數學的這種魅力。事實上，正是兩者這種出乎意料的神秘結合，使人們對費馬數有了更為持續不斷的興趣。
費馬數研究的回顧與現狀 如上所述，對費馬數的研究費馬邁出了第一步。他給出正確的結論：前5個費馬數都是素數。然后，他做出猜想：所有的費馬數都是素數。
1732年，歐拉給出F5的素因子分解式：F5＝641×6 700 417，從而否定了費馬的推斷。為了得出這一結果，歐拉還研究了費馬數的性質，證明了一個重要結論：當n≥2時，費馬數F5若有素因子，那么這一因子具有k×2n+1+1 的形式。這樣在尋找F5的因子時，就可直接排除掉許多不必進一步檢驗的無關的數值，從而大大減輕的運算量。正是以此為依據，歐拉只對可能的因子進行試除。最終找到了F5的第一個因子641，最終把F5進行了完全分解。 1877年，數學家佩平得出一個重要的判據結果：費馬數Fn是素數，當且僅當F5整除3(Fn-1)/2+1 。這個結論對于檢驗費馬數的素性是很有效的。 1878年，盧卡斯改進了歐拉的成果，證明費馬數Fn若有素因子，那么這一因子具有k×2n+1+1 的形式。通過這一加強后的結論尋找Fn的素因子，從而判斷它是否是素數就更為簡捷了。實際上，正是這一結論奠定了人們尋找大的費馬合數的理論基礎。 1880年，著名數學家朗道給出F6的素因子分解式：F6＝247 177×67 280 421 310 721。 1905年，莫瑞漢德與韋斯坦證明F7是合數。1908年，這兩位數學家利用同樣的方法證明F8是合數。證明中使用了上述佩平檢驗法則。 1957年，羅賓遜找到F1945的一個因子：5×21947+1 ，從而證明它是合數。 1977年，威廉姆找到F3310 的一個因子：5×3313+1 ，從而證明它是合數。1980年，人們找到F9948的一個因子：19×29450+1 ，從而證明它是合數。 1980年，哥廷汀證明 F17是合數。 1987年，楊和布爾證明F20是合數。 1980年，開勒證明了F9448是個合數，它有因子19×29450+1 。 1984年，開勒找到F23471 的一個因子：5×223473+1，從而證明它是一個合數。作為最大的費馬合數這一紀錄保持了近十年。 1992年，里德學院的柯蘭克拉里和德尼亞斯用計算機證明了F22 是合數，這個數的十進制形式有100萬位以上。這一證明曾被稱為有史以來為獲得一個“一位”答案（即“是－否”答案）而進行的最長計算，總共用了1016次計算機運算。 在對費馬數的素因子分解方面，進展要緩慢得多。 1971年，布里罕德和莫利遜用連分數法，借助于電子計算機花了一個半小時的機時把F7分解為兩個質因子的乘積，這兩個質因子一個17位，一個22位。 1981年，布瑞特和普拉德利用蒙特卡羅方法在計算機上計算了兩小時，對F8進行了分解，求得 F8＝1238926361552897與一個62位素數的積。 1990年美國加州伯克萊分校的林斯特拉等人利用數域篩法（nFS）（并借助計算網絡）分解了 F9。它是2424833與一個148位數的積。
同年，澳大利亞國立大學的布瑞特用ECM算法（橢圓曲線法）分解了F10和F11 。迄今為止，F5 ~F11 ，是人們已經完成標準素因子分解式的費馬合數。n＝12、13、15、16、17、18、19、21、23時，對應的費馬數已找到部分因子。
最小的尚未完全分解的費馬數是F12，它還有一個1187位的因子尚需要分解。n＝14、20、22、24時已經證明是合數，但還沒有找到任何因子。尚未判定是合數還是質數的最小費馬數是F33。
費馬數因子網絡搜尋計劃
隨著計算機的普及，個人電腦開始進入千家萬戶。與之伴隨產生的是電腦的利用問題。越來越多的電腦處于閑置狀態，即使在開機狀態下CPU的潛力也遠遠不能被完全利用。而另一方面，需要巨大計算量的各種問題不斷涌現出來。因此在互聯網上開始出現了眾多的分布式計算計劃。所謂分布式計算是一門計算機學科，它研究如何把一個需要非常巨大的計算能力才能解決的問題分成許多小的部分，然后把這些部分分配給許多計算機進行處理，最后把這些計算結果綜合起來得到最終的結果。 費馬數因子網絡搜尋計劃是這種分布式計算計劃之一。在這項計劃中，人們打算借助網絡加速對費馬數的研究。從比較小的費馬數 F12~ F23到一般大小的F24~ F1000再到巨大的費馬數F1000 ~F50000
都包含在這一龐大的研究計劃之內。正是通過這一網絡合作計劃，人們發現了許多有關費馬數的新的結果。計算機出現之前，在近三百年的時間中，人們僅僅找到了16個費馬素因子。而借助于計算機，借助于費馬數因子網絡搜尋計劃，在短短的近半個世紀，人們已經找到了234個費馬素因子！
例如在2003年，人們就找到了8個費馬因數。2003年10月10日，人們找到了具有746190位數的費馬素因子：3×22478785+1 ，由此人們得到了截止目前為止最大的費馬合數 F2478782。2003年11月1日又宣布了一項最新成果：發現了一個新的費馬素因子1054057×28300+1。這同時意味著又一個費馬合數F8293的產生。
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