什么是“等冪和問題”？

現在請看兩組自然數，每組各有三個數，每個都是六位數字。把這兩組數分別相加，你會發現它們的和是完全相等的，即：123789＋561945＋642864＝242868＋323787＋761943

這當然并不稀罕。可是，要知道它們各自的平方之和也是完全相等的，那就是說：

123789²＋561945²＋642864²＝242868²＋323787²＋761943²

還有更奇妙的呢！我們把每個數的最左邊一個數字依次抹掉，發現竟然不能改變數組的性質，即有：23789k＋61945k＋42864k＝42868k＋23787k＋61943k
　　3789k＋1945k＋2864k＝2868k＋3787k＋1943k
　　…　…
　　9k＋5k＋4k＝8k＋7k＋3k（k＝1，2）
這就像“金蟬脫殼”一樣，脫掉最后一層，金蟬卻還是貨真價實的金蟬，其個性可謂至死不變！

現在我們反其道而行之，把原來兩組數的數字逐個從右邊抹掉，發現經過如此的變動之后，這種“金蟬脫殼”性質居然還能保持下來，即有：
　　12378k＋56194k＋64286k＝24286k＋32378k＋76194k
　　1237k＋5619k＋6428k＝2428k＋3237k＋7619k
　　…　…
　　1k＋5k＋6k＝2k＋3k＋7k（k＝1，2）

你說奇不奇，妙不妙？！

其實，上面所說的就是數論中著名的“等冪和問題”，由于等冪和數組往往具有“金蟬脫殼，至死不變”的性質，極具欣賞價值，所以一直吸引著人們去探尋更多的等冪和數組，那么，等冪和數組是怎樣構造出來的呢？我們還是從最簡單的情形談起。

　　為了敘述方便，我們把上述等冪和數組記為：

＜123789，561945，642864/242868，323787，761943＞（＊）以下類同。

上述形式的一位數等冪和數組有：
　　　＜1，5，6/2，3，7＞　＜2，6，4/4，2，6＞　＜3，1，2/2，3，1＞
　　　＜7，9，8/8，7，9＞　＜8，4，6/6，8，4＞　＜9，5，4/8，7，3＞

　　我們注意到等冪和數組（＊）中相同數位上的數字就是上述數組中的數。因此，如果能找到某種規律，我們就能從已知的等冪和數級出發，構造出新的等冪和數組。為此，我們把構成數組（＊）的一位數數組列舉出來，并把其中的數從小到大排列，然后把對應的烽邊接起來，看看有無什么現象。

不難看出，等冪和數組（＊）是上述六個等冪和數組的“對稱組合”——仔細看看，左邊與右邊的箭頭是不是相對稱？

一個很自然的問題是：把已知的若干等冪和數組中和數從小到大排列之后，進行對稱組合，能不能形成新的等冪和數組呢？經過大量實驗，我們發現結論是肯定的。大家可以試著組合一下。在此，我再向大家推薦另外一等冪和數組：
　　＜193333，648787，854842/276466，482521，937975＞
　　這組數經過上述方法對稱組合后，能構造出如下一些等冪和數組：
　　＜158832，644743，893383/237925，486561，972476＞
　　＜257，342，796/134，588，673＞
　　＜3811，7666，8158/4932，5424，9279＞
　　＜25627，46873，94162/18946，63235，87481＞

　　需要指出的是，參與構造新等冪和數組的數組也可以是恒等冪和數組，不過其中三個數應能構成等差數列。例如＜3，5，7/3，5，7＞就能參與構造。綜上所述，我們找到了一種構造等冪和數組的方法，從而也就不難理解等冪和數組為什么往往具有“金蟬脫殼”的性質了。

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