畢達哥拉斯派與形數

在畢達哥拉斯派看來，數字是點或微粒。他們提到三角形數、正方形數、五邊形數時，想到的是點集、晶狀體或點狀物體。如左下圖的五邊形數和右下圖的六邊形數。

雖然歷史片斷沒有提供精確的年代數據，這一點卻是無疑的，即畢達哥拉斯學派發展并完善了自己的認識。他們開始把數字理解為抽象概念，而物體只不過是數字的具體化。有了這一后來的特性，我們可以明白菲洛勞斯(Philolaus)的論述：“如果沒有數和數的性質，世界上任何事物本身或與別的事物的關系都不能為人所清楚了解 ……。”

一. num = △+△ +△

1796年7月10日, 數學家高斯在日記中寫道：ErPHKA! num = △+△+△ 。這里ErPHKA 是希臘文“發現” 或“找到”的意思，高斯的引用了當年阿基米德發現浮力定理時說的話，可見他興奮心情。高斯到底發現了什么? 什么使他如此興奮? 原來他找到了“自然數可表示為三個三角形數之和” 的證明（num 為數的縮寫，△表示三角形數）。

據說此前法國數學家費馬曾猜測：每個自然數皆可用k個k角形數和表示。對于四角形數的問題, 我們稍后再談1831年法國數學家柯西在巴黎科學院宣讀了他的論文, 論文給出自然數皆可用k個k角形數和表示的證明。

二. 自然數表為四角形數問題

早在公元3世紀前后，數學家丟番圖曾猜測自然數皆可用四個四角形數（即完全平方數和）表示。其實， 許多自然數只須用兩個完全平方數和便可表示（如5 = 1² + 2²， 8 = 2² + 2² 等等)，但有些不行（像3，6，7 等等），是費馬首先認識到質數（除2之外）皆有4k+1 或4k+3形狀，而后他發現了：4k+1 型質數皆可表為兩完全平方數和形式(雙平方和定理)。

該定理于1754年由數學大師歐拉給出證明（1977年拉森L. C. Larson）用圖論的方法即“n后問題” 解法亦給出該定理的一個漂亮證明）。

此后勒讓德在其所著的“數論”書中又指出：4m（8n+7）型整數必須用四個完全平方數和表示。

自然數表為四個完全平方數和問題曾引起不少人的興趣, 1621年法國人巴契特（Bachet）從1驗算到325未發現例外。據稱笛卡兒也試圖探討該問題，然而之后他意識到“它實在太難了!”

這個等式是說：能表示成四個完全平方數和的兩數之積亦可用四個完全平方數和表示。如此一來, 對于整數表為四平方和問題的研究, 可轉化為質數表為四完全平方數和的問題（相對容易了）。

1770年, 數學家拉格朗日依據歐拉的上述發現, 給出了“自然數可表示為四個完全平方數之和” （四平方和定理）的第一個完整證明。

1773年, 已經雙目失明的66歲的歐拉, 也給出該結論的另一證明。

大約100年后, 德國數學家雅各比又給出另外一種證法。

順便指出: 四平方和定理中允許相同數字平方和出現, 如果要求四完全平方數皆相異或互質, 結論將是另一番情形。

圖蘭首先發現: 自然數表示成兩兩互質的整數平方和時， 四個則不夠（比如8k或6k+5 型自然數便如此）。

鮑赫曼等又發現: 當n ≤ 188 時, 有31個自然數n 不能用四個相異的完全平方數和表示。且他們同時證明了: n > 188 時, n 皆可用五個彼此不同的完全平方數和表示。

四. 華林(E. Waring) 問題

人們完成的自然數表為四角形數即完全平方數和問題后, 開始把目光集中到它的推廣即自然數用完全立方數、四次方數、五次方數、……和表示問題。

1782年華林在其所著 “代數沉思錄”中提出，自然數可用9個完全立方數和、19個四次方數和、……表示, 人稱“華林問題”。

為了方便起見我們用g（k） 表示任意自然數可用k次方數和表示的最少個數, 則華林問題便是欲證g（3）=9，g（4）=19 等。

對于g（3）問題，1939年迪克森（L. E. Dickson）指出：除23和239（這也是雅谷比開列的自然數表成立方數和表中, 兩個須用9個立方數和表示的數）外，自然數皆可表為8個立方數和。

而后，朗道（E. G. H. Landau）又指出: 從某個充分大的N 起, 自然數皆可表為7個立方數和（這類充分大的n 的表示問題, 人們又用G（k）表記，如是朗道證明了G（3）= 7）。1909年威弗利茨（A. Wieferch）嚴格證明了g（3）=9。

對于g（4）問題的研究，法國數學家柳維爾（J. Liouville）曾證明g(4)≤53。接著他又將自然數n 表為6x+r（r=0，1，2，3，4，5）形式。由于任何x 皆可表示四個完全平方數和， 即x=a²+b²+c²+d²，同時a，b，c，d 也有類似表示：a=a21+a22+a23+a24，b=b21+b22+b23+b24， c= c21+c22+c23+ c24，d= d21+d22+d23+d24，將它們代入6x=6（a²+b²+ c²+ d²）再注意到柳維爾的等式知，6x至多只須6×8=48個四次方數和表示。又r = 0，1，2，3，4，5 中至多只須用5個四次方數和表示。如是，n至多只須48+5=53個四次方和表示。

之后, 威弗利茨將g（4）改進到37。

英國數學家哈代又證明：對于充分大的n，g（4）= 19, 即G（4）= 19。

1939年戴維鮑特（Davenport）證明了G(4) = 16。

1986年四位美國數學家聯手證得g（4）= 19。至此華林問題獲解。

對于一般的g（k）問題, 1908年希爾伯特曾證得: 對于任何k 來講，g（k）均為有限。但對于g（5），g（6），. . .，g（k）等的估計一直不詳，僅獲局部結果，如陳景潤曾證得g（5）= 37 等。