“數”的研究一直是畢達哥拉斯學派最主要的任務。

什么是親和數？

親和數是這樣一對正整數a和b，使得a的所有真因子的和等于b，而b的所有真因子的和等于a。親和數問題最早由畢達哥拉斯學派發現和研究的。他們在研究數字的規律的時候發現有以下的性點的兩個數：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284      1+2+4+71+142=220 ，就是220的真因子是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55、110，它們的和是284；284的真因子是1、2、4、71、142，其和恰好是220。這是最早發現的一對親和數，也是最小的一對親和數。

考慮到1是每個整數的因子，把除去整數本身之外的所有因子叫做這個數的“真因子”。如果兩個整數，其中每一個數的真因子的和都恰好等于另一個數，那么這兩個數，就構成一對“親和數”。

畢達哥拉斯學派的學者還注意到整數48可以被2、3、4、6、8、12、16、24整除，這8個數都是48的因子，這些因子的和是75；奇妙的是75的因子有3、5、15、25，而它們的和又恰好是48。48與75這一對數叫做“半親和數”。不難驗算出140與195也是一對半親和數。

更有趣的親和鏈

更有趣的是人們還發現了親和鏈：2115324，3317740； 3649556，2797612。就是第一個數的因子之和是第二個數，第二個數的因子之和是第三個數……第四個數的因子之和又恰好是第一個數，它們是一個四環親和鏈。一些構成親和鏈的數，只要給出其中的一個，便可以計算出其他的數。如12496與其他四個數構成一個五環親和鏈。有計算器的讀者不妨試算一下，補上其余的四個數。

對親和數有興趣的人

大約在公元9世紀，杰出的阿拉伯數學家本·科拉建立了一個有名的親和數公式：

設a=3*2^x-1，b=3*2^x-1-1，c=9*2^(2x-1)-1， 這里x是大于1的自然數，如果a、b、c全是素數的話，那么2^x*ab與a^x*c。便是一對親和數。

例如，當x=2時，我們不難算出a=11，b=5，c=71，它們全都是素數，所以 

2^x*ab=2²*11*5=220；  2^x*c=2²*71=284。

后來的人們對親和數研究一直保持著極大的興趣，特別是大數學家費爾馬、笛卡兒和歐拉等都曾經研究過親和數。1636年法國數學家費馬發現了第二對親和數，它們是17962與18416。1638年笛卡兒給出了第三對親和數。第三對和第四對親和數，即17926與18416及9363548與94375O6。

要數對親和數的做過比較深入研究和為尋找親和數花了很多功夫的人應當是瑞士的著名數學家歐拉。1747年大數學家歐拉一下子找出了30對，3年后，1750年歐拉向公眾宣布了另外的30對親和數，這樣親和數的數量又增加到了62對，并給出了一個有62對親和數表。這樣大的進展真的給人們一個大的驚喜。可是這樣一來，人們反倒覺得既然大數學家歐拉都已經研究過親和數了，而且他一個人就發現了60對親和數。歐拉算出了長達幾十位、天文數字般的親和數，那么應該能夠計算的數可能都被歐拉找出來了，肯定不會有什么遺漏。

但是，讓人沒有想到的是，除去最小的220與284之外，另一對親和數1184與1210竟然被歐拉和另外幾位數學大師都漏過了。這對親和數是在一百多年之后，當“親和數”的話題不那么熱了，似乎已被世人淡忘的時候，1886年一個16歲的意大利男孩帕加尼尼發現這對親和數，如果把親和數按從小到大的順序排列，那么這個少年發現的親和數是排在第二位。這也可以說明一個現象，就是“百密一疏”，被漏過的恰恰是近在第一對親和數身旁的第二對1184與1210，最容易的反倒是被人忽略了。

對于親和數的性質我們知道的還不多，能否用一個公式求出所有的親和數也不清楚。但是隨著計算機的性能不斷地提高，利用計算機計算親和數要比過去容易得多，可以找出更多的親和數。

目前已經知道的有1000多對親和數，而10000以內的只有5對，在100000以內有13對，它們是：220和284、1184和1210、2620和2924、5020和5564、6232和6368、10744和10856、12285和14595、17296和18416、63020和76084、66928和66992、67095和71145、69615和87633、79750和88730。

在13對親和數中，要么是偶數對，要么是奇數對，沒有一奇數一偶數的，而且偶數的居多，奇數只有3對。后來的兩千年內雖然對親和數仍然也進行過一些的有意義研究，但是一直沒有發現新的親和數。

親和數到底是有限對還是無限對呢？到底有沒有奇偶對呢？有沒有一般公式呢？這些問題到現在還沒有解決，等待人們去研究探索。