從1996年到2004年5月15日，GIMPS項目發現了7個梅森素數：M1398269、M2976221、M3021377、M6972593、M13466917、M20996011和M24036583，它們都是使用奔騰型計算機得到的結果。

梅森素數的由來

馬林·梅森（Marin Mersenne,1588–1648）是17世紀法國著名的數學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物。他與大科學家伽利略、笛卡爾、費馬、帕斯卡、羅伯瓦、邁多治等是密友。雖然梅森的職業是修道士致力于傳播宗教，但他卻是科學的熱心擁護者，在教會中為了保衛科學事業做了很多工作。他翻譯過伽里略的一些著作，并捍衛了他的理論；同時他也捍衛笛卡兒的哲學思想，反對來自教會的批評。

梅森對科學所作的主要貢獻是他起了一個極不平常的信息交換中心的作用。17世紀時，科學刊物和國際會議等還遠遠沒有出現，甚至連科學研究機構都沒有創立，交往廣泛、熱情誠摯和德高望眾的梅森就成了歐洲科學家之間的聯系的橋梁。許多科學家都樂于將成果寄給他，然后再由他轉告給更多的人。因此，他被人們譽為“有定期學術刊物之前的科學信息交換站”。梅森和巴黎數學家笛卡兒、費馬、羅伯瓦、邁多治等曾每周一次在梅森住所聚會，輪流討論數學、物理等問題，這種民間學術組織被譽為“梅森學院”，它就是法蘭西科學院的前身。

1640年6月，費馬在給梅森的一封信中寫道：“在艱深的數論研究中，我發現了三個非常重要的性質。我相信它們將成為今后解決素數問題的基礎”。這封信討論了形如2 ^P－1的數（其中p為素數）。早在公元前300多年，古希臘數學家歐幾里得就開創了研究2 ^P－1的先河，他在名著《幾何原本》第九章中論述完美數時指出：如果2 ^P－1是素數，則2 ^P－1（2 ^P－1）是完美數。

梅森在歐幾里得、費馬等人的有關研究的基礎上對2 ^P－1作了大量的計算、驗證工作，并于1644年在他的《物理數學隨感》一書中斷言：對于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時，2 ^P－1是素數；而對于其他所有小于257的數時，2 ^P－1是合數。前面的7個數（即2，3，5，7，13，17和19）屬于被證實的部分，是他整理前人的工作得到的；而后面的4個數（即31，67，127和257）屬于被猜測的部分。不過，人們對其斷言仍深信不疑，連大數學家萊布尼茲和哥德巴赫都認為它是對的。

雖然梅森的斷言中包含著若干錯誤，后面將詳述，但他的工作極大地激發了人們研究2 ^P－1型素數的熱情，使其擺脫作為“完美數”的附庸的地位。可以說，梅森的工作是素數研究的一個轉折點和里程碑。由于梅森學識淵博，才華橫溢，為人熱情以及最早系統而深入地研究2 ^P－1型的數，為了紀念他，數學界就把這種數稱為“梅森數”；并以Mp記之（其中M為梅森姓名的首字母），即Mp=2 ^PP－1。如果梅森數為素數，則稱之為“梅森素數”（即2 ^P－1型素數）。

梅森素數貌似簡單，而研究難度卻很大。它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且需要進行艱巨的計算。即使屬于“猜測”部分中最小的M31=231－1=2147483647，也具有10位數。可以想象，它的證明是十分艱巨的。正如梅森推測：“一個人，使用一般的驗證方法，要檢驗一個15位或20位的數字是否為素數，即使終生的時間也是不夠的。”是啊，枯燥、冗長、單調、刻板的運算會耗盡一個人的畢生精力，誰愿讓生命的風帆永遠在黑暗中顛簸！人們多么想知道梅森猜測的根據和方法啊，然而年邁力衰的他來不及留下記載，四年之后就去世了；人們的希望與梅森的生命一起泯滅在流逝的時光之中。看來，偉人的“猜測”只有等待后來的偉人來解決了。

充滿艱辛與樂趣的探索歷程

梅森素數就像數學海洋中的一顆璀璨明珠，吸引著一代又一代的研究者去探尋。自梅森提出其斷言后，人們發現的已知最大素數幾乎都是梅森素數；因此，尋找新的梅森素數的歷程也就幾乎等同于尋找新的最大素數的歷程。而梅森斷言為素數而未被證實的幾個Mp當然首先成為人們研究的對象。

1772年，瑞士數學家歐拉在雙目失明的情況下，靠心算證明了M31是一個素數，它共有10位數，堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉的毅力與技巧都令人贊嘆不已，他因此獲得了“數學英雄”的美譽。這是尋找已知最大素數的先聲。歐拉還證明了歐幾里得關于完美數的定理的逆定理，即：每個偶完美數都具有形式2P－1（2P－1），其中2P－1是素數。這就使得偶完美數完全成了梅森素數的“副產品”了。歐拉的艱辛給人們提示：在偉人難以突破的困惑面前要想確定更大的梅森素數，只有另辟蹊徑了。

100年后，法國數學家魯卡斯提出了一個用來判別Mp是否是素數的重要定理——魯卡斯定理。魯卡斯的工作為梅森素數的研究提供了有力的工具。1883年，數學家波佛辛利用魯卡斯定理證明了M61也是素數——這是梅森漏掉的。梅森還漏掉另外兩個素數：M89和M107，它們分別在1911年與1914年被數學家鮑爾斯發現。

1903年，在美國數學學會的大會上，數學家柯爾作了一個一言不發的報告，他在黑板上先算出267－1，接著又算出193707721×761838257287，兩個結果相同。這時全場觀眾站了起來為他熱烈鼓掌，這在美國數學學會開會的歷史上是絕無僅有的一次。他第一個否定了“M67為素數”這一自梅森斷言以來一直被人們相信的結論。這短短幾分鐘的報告卻花了柯爾3年的全部星期天。1922年，數學家克萊契克進一步驗證了M257并不是素數，而是合數（但他沒有給出這一合數的因子，直到20世紀80年代人們才知道它有3個素因子）。

“手算筆錄時代”，人們歷盡艱辛，僅找到12個梅森素數。而計算機的產生使尋找梅森素數的研究者如虎添翼。1952年，數學家魯濱遜等人將魯卡斯-雷默方法編譯成計算機程序，使用SWAC型計算機在短短幾小時之內，就找到了5個梅森素數：M521、M607、M1279、M2203和M2281。其后，M3217在1957年被黎塞爾證明是素數；M4253和M4423在1961年被赫維茲證明是素數。1963年，美國數學家吉里斯證明M9689和M9941是素數。1963年9月6日晚上8點，當第23個梅森素數M11213通過大型計算機被找到時，美國廣播公司（ABC）中斷了正常的節目播放，以第一時間發布了這一重要消息；發現這一素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，以致于把所有從系里發出的信件都敲上了“211213－1是個素數”的郵戳。

1971年3月4日晚，美國哥倫比亞廣播公司（CBS）中斷了正常節目播放，發布了塔可曼使用IBM360-91型計算機找到新的梅森素數M19937的消息。而到1978年10月，世界幾乎所有的大新聞機構（包括我國的新華社）都報道了以下消息：兩名年僅18歲的美國高中生諾爾和尼科爾使用CYBER174型計算機找到了第25個梅森素數：M21701。

隨著素數P值的增大，每一個梅森素數MP的產生都艱辛無比；而各國科學家及業余研究者們仍樂此不疲，激烈競爭。1979年2月23日，當美國克雷研究公司的計算機專家史洛溫斯基和納爾遜宣布他們找到第26個梅森素數M23209時，人們告訴他們：在兩個星期前諾爾已得到這一結果。為此，史洛溫斯基潛心發憤，花了一個半月的時間，使用CRAY-1型計算機找到了新的梅森素數M44497。這個記錄成了當時不少美國報紙的頭版新聞。

之后，這位計算機專家乘勝前進，使用經過改進的CRAY-XMP型計算機在1983年至1985年間找到了3個梅森素數：M86243、M132049和M216091。但他未能確定M86243和M216091之間是否有異于M132049的梅森素數。而到了1988年，科爾魁特和韋爾什使用NEC-FX2型超高速并行計算機果然捕捉到了一條“漏網之魚”——M110503。

沉寂4年之后，1992年3月25日，英國原子能技術權威機構——哈威爾實驗室的一個研究小組宣布他們找到了新的梅森素數M756839。1994年1月14日，史洛溫斯基和蓋奇為其公司再次奪回發現“已知最大素數”的桂冠——這一素數是M859433。而下一個梅森素數M1257787仍是他們的成果。這一素數是使用CRAY-794超級計算機在1996年取得的。史洛溫斯基由于發現7個梅森素數，而被人們譽為“素數大王”。

2004年5月15日，美國國家海洋和大氣局顧問、數學愛好者喬希·芬德利(Josh Findley)用一臺裝有2.4GHZ奔騰處理器的個人計算機，找到了目前世界上已知最大的梅森素數。該素數為2的24036583次方減1(即224036583－1)，它有7235733位數，如果用普通字號將這個數字連續寫下來，它的長度可達3萬米！它是2000多年來人類發現的第41個梅森素數，也是目前已知的最大素數。世界上許多著名的新聞媒體和科學刊物都對這一消息進行了報道和評介，認為這是數學研究和計算技術中最重要的突破之一。

2006年9月，我們知道了44個梅森素數；現在已知最大的素數是梅森素數M32,582,657。

已發現的梅森素數表

由上表可見，梅森素數的分布極不規則，就連找到梅森素數的時間分布都很沒有規律，有時許多年未能找到一個，而有時則一下找到好幾個。探索梅森素數的分布規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。有數學家提出了一些猜想，如英國數學家香克斯、美國數學家吉里斯、法國數學家托洛塔和德國數學家伯利哈特曾分別給出過關于梅森素數分布的猜測，但他們的猜測有一個共同點，就是都以近似表達式給出；而它們與實際情況的符合程度均未盡如人意。

中國數學家與語言學家周海中經過多年研究，在1992年首先給出了梅森素數分布的精確表達式，為人們尋找這一素數提供了方便；這一科研成果被國際數學界命名為“周氏猜測”。著名的《科學》雜志上有一篇評論文章指出，這是梅森素數研究中的一項重大突破。

不久前，國際電子新領域基金會（IEFF）宣布了由一位匿名者資助的為通過GIMPS項目來尋找新的更大的梅森素數而設立的獎金。它規定向第一個找到超過一千萬位數的個人或機構頒發10萬美元。后面的獎金依次為：超過1億位數，15萬美元；超過10億位數，25萬美元。但據悉，絕大多數研究者參與該項目不是為了金錢而是出于樂趣、榮譽感和探索精神。可以相信，梅森素數這顆數海明珠正以其獨特的魅力，吸引著更多的有志者去尋找和研究。 

梅森素數的意義

自古希臘時代直至17世紀，人們尋找梅森素數的意義似乎只是為了尋找完美數。但自梅森提出其著名斷言以來，特別是歐拉證明了歐幾里得關于完美數的定理的逆定理以來，完美數反倒成為是梅森素數研究的一種“副產品”了。尋找梅森素數是發現已知最大素數的最有效的途徑，自歐拉證明M31為當時最大的素數以來，在發現已知最大素數的世界性競賽中，梅森素數幾乎囊括了全部冠軍。

尋找梅森素數是測試計算機運算速度及其他功能的有力手段。如M1257787就是1996年9月美國克雷公司在測試其最新超級計算機的運算速度時得到的。梅森素數在推動計算機功能改進方面發揮了獨特作用。發現梅森素數不僅僅需要高功能的計算機，它還需要素數判別和數值計算的理論與方法以及高超巧妙的程序設計技術等等，因而它還推動了數學皇后——數論的發展，促進了計算數學、程序設計技術的發展。

由于尋找梅森素數需要多種學科的支持，也由于發現新的“最大素數”所引起的國際影響使得對于梅森素數的研究能力已在某種意義上標志著一個國家的科學技術水平，而不僅僅是代表數學的研究水平。從各國各種傳媒爭相報道新的梅森素數的發現，我們可以清楚地看到這一點。梅森素數的特性使它具有一定實用價值，人們已將大素數用于現代密碼的設計領域。它是基于這樣的事實：將一個很大的數分解成若干素數的乘積非常困難，但將幾個素數相乘卻相對容易得多。在這種密碼設計中，需要使用較大的素數，素數越大，密碼被破譯的可能性就越小。

尋找梅森素數另外的一個意義是，它促進了分布式計算技術的發展。從最新的7個梅森素數是在因特網項目中發現這一事實告訴我們，可以利用大量個人計算機去做這件事，分布式計算技術是一個前景非常廣闊的領域。

歐幾里得發現并證得“素數有無窮多個”，而梅森素數是否也有無窮多個？魅力無窮的梅森素數具有許多特異的性質和現象，千百年來一直吸引著眾多的數學愛好者對它進行研究；雖然已經取得了一些進展，但仍然有許多未解之謎，等待著人們去探索。

本文節選自《世界科學》2004年第7期  作者是香港科技大學 方程