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人們稱這類數(shù)為完美數(shù)。大約是在公元前350-300年期間歐幾里得證明了： 若2 n-1是素?cái)?shù)，則數(shù)2n-1（2n-1）是完全數(shù)。他在《幾何原本》中就討論有關(guān)尋求某種類型完全數(shù)的問題。
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完全數(shù)是非常奇特的數(shù)，它們有一些特殊性質(zhì)，如每個(gè)完全數(shù)都是三角形數(shù)。即都能寫成：n(n+1)/2
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6=1+2+3=3*4/2
28=1+2=3+4+5+6+7=7*8/2
496=1+2+3+4+……+31=31*32/2
……
2 n-1(2n-1)=1+2+3+……+(2n-1)=(2n-1)2n/2
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除了6之外它們都是連續(xù)奇數(shù)的立方和。把它們（6除外）的各位數(shù)字相加，直到變成一位數(shù)，那么這個(gè)一位數(shù)一定是1。 |
22（23-1）=28=13+33
24（25-1）=496=13+33+53+73
26（27-1）=8128=13+33+53+73+93+113+133+153
……
2n-1（2n-1）=13+33+53+……+(2(n+1)/2-1)3
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除了因子1之外，每個(gè)完全數(shù)的所有因子（包括自身）的倒數(shù)和等于1。
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1/2+1/3+1/6=1
1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=1
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完全數(shù)都是以6或8結(jié)尾的，如果以8結(jié)尾，那么就肯定是以28結(jié)尾。
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下面是完全數(shù)用二進(jìn)制的表示:
110
11100
111110000
1111111000000……
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數(shù)論里有一個(gè)著名的函數(shù)σ（n），表示自然數(shù)n的所有因子之和，包括因子n本身在內(nèi)。于是利用σ（n）。完全數(shù)可以定義為使得σ（n）=2n的數(shù)。注意以上談到的完全數(shù)都是偶完全數(shù)，至今仍然不知道有沒有奇完全數(shù)。
17世紀(jì)的法國(guó)教士馬丁·梅森是其中成果較為卓著的一位，因此后人將“2的n次方減1”形式的
素?cái)?shù)稱為梅森素?cái)?shù)。歐拉證明了歐幾里得關(guān)于完全數(shù)定理的逆定理，即：每個(gè)偶完美數(shù)都具有這種形式:
2P－1 （2P－1），其中2P－1是素?cái)?shù)。
這就在完全數(shù)與梅森數(shù)之間建立了緊密的聯(lián)系，到目前為止，共發(fā)現(xiàn)了46個(gè)梅森素?cái)?shù)，這就是說(shuō)已發(fā)現(xiàn)了46個(gè)完全數(shù)。
下表給出了前18個(gè)完全數(shù)：
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