早年在祖父所設的家館讀書，14歲時祖父去世，先后入平陽縣學堂和杭州府中學堂（杭州中學前身）學習。1910年6月考取游美學務處備取生，次年9月入美國加利福尼亞州立大學（伯克利）學習數學，1915年畢業，獲理學學士學位。同年轉入哈佛大學作研究生。在讀研究生期間，他于1918年受聘為哈佛大學助教，擔任ＷＦ奧斯古德（Osgod）教授的助手。1919年姜立夫完成博士論文“非歐幾里得空間直線球面變換法”，署名chan－chanTso（姜蔣佐），導師是Ｊl庫利芝（colidge）教授。獲得博士學位后不久，其兄去世，他即刻辭去哈佛大學的工作回國料理后事，并擔負起撫養和教育遺孤的責任。

1920年，姜立夫應聘到剛成立半年的南開大學任教授（直至1948年），創辦數學系（當時稱算學系）并兼系主任。1923年，出任中國科學社算學名詞審查委員會主席，與胡明復共同負責制定算學名詞草案，同年受科學名詞審查委員會委托主持審查算學名詞。1926年秋赴廈門大學講學，為期一年。1934年赴德國漢堡大學進修，后轉至格廷根大學，歷時兩年。在此期間，1935年中國數學會成立于上海，被推為該會評議員和數學名詞審定委員會委員，同年受聘為中央研究院評議會評議員。1936年10月，姜立夫與胡明復之妹胡芷華在上海結婚。抗日戰爭期間，他只身隨校到昆明，在由北京大學、清華大學和南開大學三校組成的西南聯合大學執教，并籌建了“新中國數學會”（任會長）。1940年底，受命籌建中央研究院數學研究所。

　　抗戰勝利后，姜立夫返回上海與家人團聚，并繼續中央研究院數學研究所的籌備工作。1946年5月他奉派赴美國進修，6月2日抵美，7月2日入普林斯頓高等研究院開始研究工作，數學所的籌備事宜由陳省身代理。1947年7月研究所正式成立，姜立夫堅辭未獲批準，被任命為所長，具體工作仍由陳省身代理主持。1948年6月姜立夫回國，9月當選為中央研究院院士；12月陳省身赴美，姜立夫返所工作。1949年初，中央研究院遷往臺灣，2月姜立夫偕家屬到臺北；7月，他借口向政府匯報工作只身返回廣州，隨即佯稱病急將家屬接回大陸，從而以花甲之年為新中國的數學研究與教育事業貢獻了全部余生。

　　中華人民共和國建立前夕，姜立夫于1949年8月應聘到廣州的一所教會學�！�～嶺南大學創辦數學系，任系主任。1952年全國高等院校進行院系調整，嶺南大學并入籌建中的中山大學，姜立夫擔任了中山大學籌備委員會委員和數學系籌備小組成員；1959年起任中山大學第一、二屆校務委員會委員；1963年起兼任校學術委員會委員。其間，姜立夫一直擔任數學系幾何教學的負責人，并從事圓素和球素幾何的研究。1966年“文化大革命”開始后，校內教學體系瓦解，姜立夫的身體亦每況愈下，所幸他看到了“文化大革命”的結束。1978年2月3日，姜立夫因心力衰竭逝世于廣州。姜夫人及長子姜伯駒遵遺囑將百余冊珍貴圖書贈予中山大學。

中國的高等數學教育開始于辛亥革命以后。1912年，京師大學堂改名北京大學，首創數學門，1919年改稱數學系，是中國第一個數學系。20年代，高等數學教育逐步進入較為蓬勃的創業時期，國內各主要大學先后建起了數學系。從無到有，開拓者的辛勞與業績在姜立夫的身上表現得尤為突出。

姜立夫是現代數學在中國最早而最卓有成效的播種人之一。早在1915年他就立志把現代數學移植到中國來，把在國內建立一支現代數學隊伍作為自己最根本的任務。1920年，他創辦了南開大學數學系（當時稱算學系），這是中國第二個數學系。建系之初的4年中，只有他一位教師，他一面處理各種行政事務，一面每學期同時開幾門課程，其中包括高等微積分、立體解析幾何、投影幾何（即射影幾何）、復變函數論、高等代數、維空間幾何、微分幾何、非歐幾何等，此外還要承擔理學院的公共數學課（初等和高等微積分）。后來他回憶說：“一人包一個系，我感到吃力�！北M管如此，他的課卻始終保持著很高的質量。1924年，劉晉年作為南開大學算學系的第一個畢業生留校為助教。1925年，錢寶琮來校任教（到1927年止），姜立夫一人辦系的局面才開始改觀。但在較長時間里，最主要的數學課程還是由他擔任。

姜立夫是一位高明的教師，講課邏輯嚴謹，分析周密，深入淺出，引人入勝。他學識淵博，又專攻幾何，常能將嚴格的形式推理與鮮明的幾何直觀相結合，啟發學生深入思考。他曾從德國購置了一整套數學模型教具，以加強學生的形象思維能力。他上課從不照本宣科，詳盡的備課，使他的講解井然有序，配以清晰的、對板面安排乃至粉筆顏色都經過周密設計的板書和圖形，能使學生耳目并用，達到最佳效果。他選用的數學符號也經過周詳的考慮，系統性很強，便于學生“顧名思義”。姜立夫認為做課外練習是學好數學的重要環節，每堂課后必留習題，并要求學生一律用方格紙做題，以便于繪圖和書寫清晰，在下一節課上對習題作必要的分析。這種做法尤其使低年級學生養成良好的學風。對于高年級的選修課，他采用多種靈活的教學與考核方式，如根據學生情況分別為他們指定閱讀文獻，再由學生輪流報告；當沒有現成教材時，他每講完一章常以檢查每個學生整理的筆記作為考核。姜立夫以淵博的知識，精彩的講授，引導一代又一代青年學子步入數學的神圣殿堂。

1926年，經南開大學同意，姜立夫應邀到廈門大學任教一年，并把剛從南開大學畢業的江澤涵帶到廈門大學做助教。他對廈門大學寄予厚望，在和朋友交談中，時常提到如何把廈門大學辦成南方的一個教學和科研中心。他為廈門大學算學系制訂教學計劃，大量購置圖書，使該系氣象一新。1931年，姜立夫的學生江澤涵在美國獲得博士學位后受聘為北京大學教授，當時北京大學數學系教學秩序尚不完善，教師對學生要求不嚴，教學質量得不到保障。江澤涵是專攻拓撲學的，姜立夫告誡他不能急于求成，“等有了經過嚴格訓練的學生時，你才可以教拓撲學，切不可在沙灘上筑大廈”，還建議他先教低年級課程，隨班教至高年級，切實加強基本訓練。江澤涵大致按老師的教學模式，從嚴要求學生，經幾年努力，終于在高年級組織起討論班，展開了數學研究。江澤涵接任數學系主任后，1935年，姜立夫又讓從美國留學歸來的申又棖到北京大學協助江的工作。對于姜立夫在30年代對北京大學數學系的教學改革所起的作用，江澤涵始終念念不忘。1949年，姜立夫創辦了嶺南大學數學系，50年代又參與籌辦中山大學數學系。每到一處，他都從最基本的建設做起，從教學計劃、教學方法、管理制度，到教師的延聘與數學書刊資料的搜集，無一不凝聚著他的心血。

　　為使教學和研究有必需的資料借鑒，姜立夫始終十分注意數學圖書和期刊的選購與積累。在南開大學，他從無到有購置了成套的重要數學期刊和叢書，一些著名數學家的論文集，以及為數不少的絕版圖書，其數量之豐與質量之高都是國內少有的。1932年，德國數學家e施佩納（sperner）到北京大學講學，當他在南開大學見到這批書刊時也不禁頗為稱羨。特別應當指出的是，在國境遭到日本侵略軍封鎖、外匯又極度缺乏，從而導致科技資料奇缺的那個年代，他為南開大學購置的這些書刊大半運抵昆明，對西南聯合大學數學系的教學與科研發揮了極為重要的作用。在廈門大學、嶺南大學和中山大學執教時，姜立夫也為數學書刊的訂購煞費苦心。按他的學生吳大任的說法，這已經成為姜立夫的一種嗜好。他到嶺南大學后的第一件事就是到圖書館整理數學書籍，隨后就為學校訂購和補齊了許多套重要的數學期刊。在中山大學，他20年如一日為圖書館提供專業咨詢�！拔幕�大革命”期間，當美國出版的《數學評論》將遭削減時，他大聲疾呼：“停訂《數學評論》就等于砍掉數學系！”由于他的堅持，終于使中山大學完整無缺地保有了這套重要的數學信息雜志。

　　姜立夫積極主張數學的國際交流，除鼓勵學生出國留學、翻譯國外優秀數學圖書外，還力促邀請外國數學家來華講學。在他的推動下，30年代北京大學接連聘請德國數學家Ｗ布拉施克（Blaschke）、施佩納、美國數學家奧斯古德到校講學，導致后來陳省身、吳大任、張禾瑞等先后留學德國，對中國現代數學的發展產生了深遠影響。1947年，中央研究院與教育部欲合聘著名數學家Ｈ外爾（Weyl）來華講學，當時姜立夫在美國曾極力促成此事，惜后來因其他變故未能成行。

　　姜立夫的辛勤耕耘，結出了豐碩的成果。僅在他早年的學生中就出現了劉晉年、江澤涵、申又棖、吳太任、陳省身、孫本旺等優秀數學家。作為中國現代高等數學教育事業的重要開拓者，姜立夫的功績是不可磨滅的。

中國數學歷史悠久，數學詞匯自成體系，但基本上限于初等數學范圍，以現代觀點看也不夠完備。17世紀初，西方初等數學傳入中國，19世紀中葉以后，高等數學也較為系統的傳入。在此期間，徐光啟（1562～1633）、李之藻（1565～1630）、李善蘭（1811～1882）、華蘅芳（1833～1902）等中國數學家為創設一套準確、恰當的數學譯名做出了重要貢獻。

清末民初，漸有以數學為專業的留學生回國。1918年，胡明復的博士論文《具有邊界條件的線性積分～微分方程》發表于《美國數學會會刊》，標志著中國數學開始匯入現代數學的洪流。隨著學成歸來的留學生逐漸增多，許多現代數學內容與分支被介紹到中國。由于時代的變遷與數學的發展，一些舊譯名已顯得不夠妥當，且原有譯名在數量及范圍上早已不敷于用。此外，由于“譯界不相聯絡，所譯名詞，人各不同”（蔡元培，《醫學名詞匯編》序，1931年），使現代數學的準確理解與有效傳播面臨著極大的困難，制訂一套準確而統一的中國現代數學詞匯已成為十分迫切的任務。姜立夫與胡明復共同領導了這項意義深遠的工作。

　　1918年，以原醫學名詞審查會為基礎，由教育部及各學術團體派代表參加，成立了科學名詞審查會，領導與組織科學詞匯的審定。1923年7月，科學名詞審查會開始審查數學名詞。在此之前，推定中國科學社提出名詞草案，該社則委托姜立夫與胡明復起草。第一次審查本包括普通名詞、算術與數論、代數學、微積分學、函數論等方面的詞匯，刊有單行本，其中所列審查員名單有姜立夫（主席）、何魯（書記）、胡明復、段調元、段育華、顧珊臣、周劍虎、吳廣涵、胡敦復、吳在淵等。編者在其“例言”中指出，這些數學詞匯的確定，是“以‘意義準確’，‘避歧義’與‘有系統’為原則；以舊譯名與日名（指日本數學名詞～～本文作者注）為根據。凡舊譯與日名之能合上之原則者，擇一用之；其不合者，酌改或重擬”（轉引自《算學名詞匯編》，科學名詞審查會編印，1938年）。本著上述原則，姜立夫與胡明復為制定詞匯草案做了大量艱苦細致的工作，不僅對所收入的7000多數學詞匯全部給出中英文對照，而且盡可能同時給出相應的法文、德文和日文。草案選用詞匯廣泛而不生僻，博取古籍和各國之長而自成體系，其審定原則也頗為精當，“例言”中特別舉例說明這些原則：“‘虛’，‘實’，‘復’，‘整’，‘分’，‘常’，‘變’，‘全’，‘偏’等字，類皆有專用之義，他處均避之�！薄啊�次’，‘級’二字，又‘敘列’，‘級數’，‘連級數’三名詞，世多混用，即西文原名亦然。今特分別指定，不予通融。”“‘無限’，‘無窮’，‘無盡’三字用法各異。如此之例尚多，不具舉�！庇捎谒麄兊墓ぷ鳂O為審慎、周密，所選用和擬訂的詞匯大都十分準確。

　　科學名詞審查會和中國科學社對上述數學詞匯的審查持續了8年之久，分4次審查完畢（1923年7月，1924年7月，1925年7月，1931年7月）。每次審查前先將相應部分編印成冊，通過審查后則陸續發表在中國科學社主辦的《科學》雜志上。1927年6月，胡明復不幸溺水逝世，以后的起草工作就由姜立夫完成。為了便于整理和進一步修訂，他將全部詞匯制成卡片，可惜由于人力不足，補齊法、德、日文詞匯的愿望始終未能實現。

　　1931年全部數學詞匯審查完畢，1938年以科學名詞審查會的名義正式出版，定名為《算學名詞匯編》。這是中國第一部現代數學詞匯。曹惠群在為該書所作的序言中提到，書成之后，原擬請姜立夫作序，但他謙遜固辭。這部數學詞匯雖然只限于純粹數學方面最基本的內容，卻已構成今日整個數學詞匯的基礎。1938年以后的20余年間，數學詞匯曾幾度補充修訂，姜立夫都是重要的參與者。

　　蔡元培在《醫學名詞匯編》序言中曾寫道：“科學愈精深，名詞愈繁復。吾國研治科學稍后，勢須暢外釋籍以為基礎；惜譯界不相聯絡，所譯名詞，人各不同。整齊而劃一之，其功至矩�！�…蓋以紛紜龐雜之各科學名詞，欲使之同條共貫，引用便利，絕非一手足一朝夕之事……”中國現代數學詞匯體系的確立，“其功至矩”，姜立夫為之傾注了大量心血，無愧為其主要奠基人之一。

數學事業鞠躬盡瘁
　　姜立夫為人豁達敦厚，凡事以發展中國的數學事業為重，不辭辛勞，不計個人名利，不遺余力地造就和提攜數學人才，深為學界所稱道。他不僅對自己的學生傾心培養，對并無師生關系的后起之秀，同樣盡可能地提供幫助，1947年，中央研究院選舉院士，陳省身在“中央研究院數理組院士候選人提名表”中對姜立夫作了如下評價：“提攜后進，不遺余力，國內知名籌（按：應為疇）人，多出其門�！倍嗄曛�后，他又在《立夫師在昆明》一文中說：“姜先生知識廣博，見事清楚，律己嚴格，足為后學者的模范。記得胡適曾有一文說姜先生是當代的圣人（他列舉的人中還有一位是張元濟先生），我十分同意�！�

20年代末，蘇步青在日本東北帝國大學讀研究生時，曾用英文名發表了幾篇論文，姜立夫讀后知道作者是中國的有為青年學者，便向廈門大學、北京大學、燕京大學和清華大學推薦，其時他們二人并不認識。當蘇步青決定去浙江大學時，姜立夫也已收到浙江大學聘書，連教材都已備好，但為了讓蘇步青充分發揮作用，他毅然辭去了浙江大學的聘任。后來兩人相遇，蘇步青知道了其中原委，不禁深為感動。

為使中國數學盡快進入世界數學主流，姜立夫總是想方設法支持青年學者出國進修或訪問，其中尤以促成華羅庚出訪蘇聯、美國一事最為人稱許。40年代蘇聯是解析數論的一個研究中心。1944年華羅庚計劃赴蘇聯考察，但時局艱難，經費無著。為此，姜立夫多次致函中央研究院院長朱家驊和中央研究院總辦事處，反復申明華羅庚數學工作的重要性及派其出訪的必要性，他在函中指出，“華君天才卓越，成績斐然”（致朱家驊的信，1944年10月19日），“近年由堆壘數論，一轉而入自守函數，再轉而入方陣幾何，湛思積悟，創獲更多，無如戰時交通梗阻，國內工具缺乏，深以閉門造車、事倍功半為苦�！�…鄙意擬請先生特別設法，派遣華君赴蘇考察一年，庶使華君研究工作得以順利進行，本處籌備設施亦得多所取法。是華君個人之幸，亦即國家學術之幸”（致朱家驊的信，1944年11月11日）。其后，因蘇聯方面長期拖延，姜立夫又轉而推薦華羅庚改派赴美。在他的積極努力下，華羅庚最終于1946年先后赴蘇、美訪問。

在姜立夫一生的業績中，對中國現代數學事業影響最深遠的，當推中央研究院數學研究所的籌建。

中央研究院成立于1928年，因國內現代數學研究基礎薄弱，當時未能成立數學研究所。其后，由于馮祖荀、姜立夫、鄭之蕃、熊慶來、陳建功、蘇步青、江澤涵等數學家的艱苦創業，以各大學數學系為基地，研究隊伍初步形成，新生力量逐漸崛起。到30年代中后期，一些研究領域已為國際數學界所矚目。1940年底，中央研究院擬增設數學研究所，聘姜立夫為籌備處主任。當時他患病已久，“十二指腸內有瘡，年來時發時愈，醫生諄囑節食靜養，教課之外，不許旁鶩”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日）。但是，為了現代數學在中國的發展，他毅然受此重任。1941年3月，經中央研究院評議會通過，數學研究所籌備處在昆明成立，姜立夫滿腔熱情地投入了籌建工作。

　　數學所籌建之初，正值抗日戰爭最艱苦的年代。姜立夫眼前的局面是：國內研究力量依然不足，較有聲望又具研究能力的學者均被各大學倚為柱石，難以延聘；連年戰爭，國力衰竭，缺少研究經費，購置外文資料所急需的外匯更是難以籌措；資料奇缺，為研究工作所必備的外文數學期刊在國內已斷檔數年，因國境遭日本侵略軍封鎖而難以運入。姜立夫認為：“算所工作之目標，在求學術上有價值之貢獻，冀可提高我國之國際地位，余事均屬次要”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日）。為實現這一目標，在接受籌建任務之初，他對數學所研究人員的延聘、研究工作的開展、圖書資料的積累、經費的籌措、機構的建設乃至所址的選取等問題進行了周密的思考與論證，并馬上以極大的精力著手克服面臨的困難。陳省身先生在《立夫師在昆明》一文中指出：在數學所的籌備過程中，姜立夫“洞鑒了當時中國數學界的情形，只求切實工作，未嘗躁進，樹立了模范”。

　　姜立夫深知圖書資料對開展數學研究的重要性，在數學所籌備之初，他對此就反復加以強調，并盡一切努力進行積累。他指出：“算學研究首賴圖書，國內各大學各圖書館對此項設備瞠乎人后，間有留心采訪略具胚芽者，抗戰以來，復受摧殘，故本所籌備處之首要任務在于搜買歐美各國之專門期刊與專家著述。”1941年初，中央研究院總干事傅斯年曾建議，評議會通過增設數學所的決議之后，該所即為正式成立。姜立夫則認為：“設所不能無屋，有屋不能無書。在他科猶有國內出版之零星著譯、調查報告，可填書架，算學并此無有。需要最切之新出期刊，在現時國內各大學各圖書館亦俱殘闕不齊，逾期未到。茍非自備，且亦無從借貸。閉門造車，非不可為，斧鑿不備，誰尸其咎。值此時局非常，談不到‘規�！�，然亦不可僅租空屋數椽，便請研究員到所工作。故正式成立之期，至早須在第一批書籍收到之后，此點對于所之前途，關系甚大，敬求先生諒解，重加考慮，不勝感幸�！边@一看法得到了傅斯年、繼任總干事葉企孫、院長朱家驊的贊同。由于經費短缺和日本侵略軍的封鎖，姜立夫只好把必購圖書期刊減少到最低限度，同時充分利用西南聯合大學所集中的南開大學、清華大學、北京大學三校圖書。對于最急需的書刊，他曾希望部分航空、部分取道緬甸、印度運入，但因戰局變化，這些圖書直到1946年才陸續運抵，使他屢屢引為憾事。

對于數學所組織機構的建設乃至所址的選擇，姜立夫都曾詳加考慮，并注意吸取中央研究院各所與各國數學所的辦所經驗。1940年底，他在1940年12月25日致傅斯年的一封信中寫道：“關于經費。……立對于此等事，素不關心，全無經驗，但院內現有各所之經費支配情形，必多可資借鏡者，尚望先生詳以教我�！薄跋壬�辦理歷史語言研究所多年，成績昭彰，經驗豐富，務�；菁又甘�，俾得有所遵循。全院規程、各所組織以及關于人事、經費種種報告，亦希檢寄全份，以備參考。”“算學研究所之設立，在他國大都附屬于大學之內，其單獨設所最有成績者，當推美國之instiｔuteforAdvancedstudy，然亦與princetonUniversity合作，蓋一方面可以調劑研究員之生活興趣，一方面又與優秀青年不致失去聯絡，易收切磋觀摩之效�！�1944年，華羅庚欲赴蘇聯考察和進修，姜立夫全力支持，并提出：“……蘇聯科學近年突飛猛進，對于研究機關之組織，研究人才之培養，處處可供吾人借鏡。華君若于此時成行，不但在研究工作上可得許多方便，對于本院數學所之發展前途，裨益亦正不少。”（姜立夫，致朱家驊的信，1944年10月19日）

對研究人員的延聘與研究工作的開展，姜立夫用心良苦。一方面，為了完成高水平的研究工作，“對于研究員之延聘，宜特別注重研究能力，寧缺勿濫”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日）。另一方面，由于“國內算學人才最感缺乏，大學師資今尚不敷分配”（姜立夫，致傅斯年的信，1941年2月25日），因而提出了一系列協調辦法。對于各大學所倚重的優秀數學家，“如浙大之蘇步青，聯大之江澤涵、陳省身、華羅庚諸先生，皆當盡先羅致，能專任研究固佳，否則似可商同原校分期合聘”（姜立夫，致傅斯年的信，1940年12月25日），對于欲專聘的研究人員，“為合作或參考之便利，或可準其在規定時間內分赴適當之大學，從事研究或講演，必使全國提倡算學研究之機關與從事算學研究之學者，互通聲氣，交受其益”（姜立夫，致傅斯年的信，1941年2月25日）�！敖^對尊重研究成績”（國立中央研究院數學研究所籌備處工作報告，1942年3月）和“與各大學打成一片，而非與各大學爭才”（姜立夫，致朱家驊的信，1946年3月5日）。這是姜立夫在選聘人員時始終遵循的原則。這種從全局出發、由長遠利益著眼的精神，對數學研究所的發展與國內數學人才的培植都起到了積極作用。本著這一精神，19411943年，數學研究所籌備處延騁了6位兼任研究員，他們是蘇步青、陳建功、江澤涵、陳省身、華羅庚、姜立夫；完成論文41篇，其中大半已為國外10余種數學雜志所發表或接受發表。姜立夫滿意地指出：“數學所雖未成立，已有成熟之作品與國際數學界相周旋。遭時多艱，有此表現，前途未可限量�！保▏�立中央研究院數學研究所籌備處工作報告，1941～1943年）1944年又延聘許寶騄、李華宗為兼任研究員。在這一年度，8位兼任研究員共完成論文30篇，“對于所研究之問題，俱能創立嶄新之方法，探得珍貴之結果”（國立中央研究院數學研究所籌備處工作報告，1944年3月～1945年2月）。在下一年度，上述8人又完成論文21篇。1947年7月，中央研究院數學研究所在上海正式成立。到1948年，國內最優秀的數學家，或專任、或兼任，已盡可能延聘到所，除以上8人外，尚有王福春（1947年9月病故）、樊、段學復、周煒良、胡世楨、王憲鐘等，共在國內外（主要在國外）各主要數學刊物上發表了近200篇學術論文，有計劃地在數論、群論、級數論、自守函數、多元空間、矩陣幾何、曲線論、微分幾何、拓撲學、數理統計等研究領域展開了研究，一些領域已處于世界先進水平，以國內原有的研究基礎和力量而論，這實在是了不起的成就。

學術研究
　　姜立夫的學術生涯開始于綜合幾何的研究。1919年5月，他在美國數學家Ｊl庫利芝（colidge，1873～1954）指導下完成了博士論文《非歐幾里得直線球面變換法》，用代數方法和微分幾何方法討論了射影空間的直線與非歐空間的球面之間的一種一一對應關系，獲得了豐富的結果。

從40年代起，姜立夫的研究課題主要是圓素與球素幾何學，逐步整理出一套以二階對稱方陣作為圓的坐標，以二階埃爾米特（Heｒmite）方陣作為球的坐標的新方法。他在《科學記錄》（1945）上發表的論文《圓和球的矩陣理論》就是對這一階段研究成果的總結。從1946年7月開始，姜立夫在美國普林斯頓高等研究院繼續研究這一課題，“利用國內尚未經見之圖書，整理多年不愿發表之積稿”（姜立夫，致朱家驊的信，1947年2月14日）。1948年秋，他還在南開大學作了幾次有關這一課題的學術報告。

50年代以后，姜立夫以較多精力整理并發展他創建的圓素與球素幾何的矩陣理論。1954年，他在中山大學科學討論會上作了題為《關于圓素幾何的新面貌》的報告。他用二階對稱方陣代表平面上的拉蓋爾（laguerre）圓（即有向圓和點圓），用二階埃爾米特（Heｒmite）方陣代表空間的拉蓋爾球（即有向球和點球），再用相應的2×4矩陣作為李（lie）圓（即拉蓋爾圓和有向直線以及無窮遠點圓）和李球（即拉蓋爾球和有向平面以及無窮遠點球）的齊次坐標，于是對應于點素平面和點素空間的射影群、仿射群和歐氏群，就有圓素平面和球素空間的辛變換群及其相應的子群。這樣，經典圓素與球素幾何就獲得新的面貌，并有新的發展前景。對于這一課題，在他的遺稿中有一個長遠計劃：

　　第一階段：對稱方陣與埃爾米特方陣（圓與球，超圓與超球），辛群變換論（麥比烏斯（Mobius）群，拉蓋爾群，李群），用方陣代數來研討辛群幾何學。

　　第二階段：辛群曲線與曲面論等（圓列、圓匯、球列、球匯、球叢），用活動標架法來發展辛群幾何學（偽歐氏空間的微分幾何）。

　　第三階段：辛群聯絡空間（麥比烏斯聯絡空間，拉蓋爾聯絡空間，李聯絡空間）。用外微分法來推廣黎曼（Riemann）幾何學與非黎曼幾何學。

這個計劃的目標不僅在于改造經典的圓素與球素幾何學，使之具有新的形式，還在于運用現代方法去發展它，使之與現代幾何合流。應該指出，姜立夫很早就注意到圓素與球素幾何與物理學和近代數學其他分支的密切關系，因而上述改造和發展都以實際對象為基礎，不追求過分抽象的推廣。這體現了他一貫務實的治學精神。

姜立夫晚年治學不倦，指導他的學生得到了屬于第一、第二階段計劃中的一些結果。隨著“文化大革命”的到來，這一有價值的研究工作被迫中斷。近年來他的學生們又在這一領域獲得了許多新的結果。

在籌建中央研究院數學所的過程中，姜立夫由全局利益出發，不計個人得失，讓賢陳省身，更是學界一段佳話。中央研究院在醞釀建所時，早已議定姜立夫為將來的所長。1941年2月17日，時任中央研究院總干事的傅斯年在致姜立夫的信中寫道：“此學為一切科學之本，本院成立15年，尚于此無所盡力，以難得其人故也。全蒙先生不棄，實本院之榮幸，欣喜無極。將來此所成立，自非先生主持無以成豐長之進步，此節請萬勿謙抑，今即作為定論也�！睋�“中央研究院第二屆評議會第一次年會紀錄”（1941年3月13～15日）載：“本院增設數學研究所，請姜立夫先生任所長�！苯�立夫則另有考慮，在受命任籌備處主任之前即說明：“至于籌備處主任一節，則系臨時性質，既承雅命，義不容辭，自當竭蹶從事，勉襄盛舉”，至于“所長之職，于立（按：姜立夫自稱）實不相宜”（致傅斯年的信，1940年12月25日）。他還懇切地說明了理由：自己身體不好，難以專心學術，且不諳行政，又為南開大學所倚重，不忍貿然離去。1947年，數學所籌備工作基本就緒，已為之付出多年努力的姜立夫從美國致函中央研究院院長朱家驊（1947年2月14日），鄭重提議：“請任命陳省身先生為第一任所長。憶立受命之始，早經聲明不為所長�！�…代理主任陳省身志趣純潔，干練有為，與全院新舊同人相處融洽，其學業成就尤為超卓，所發表之論文能以少許勝人多許，所研究之問題極為重要，所得之結果饒有價值，不但美國數學家一致推重，所見歐陸當世大師亦復交口稱許。本院數學所長之選，宜推省身第一。況研究所初告成立，需要創造之精神，需要推動之力量，是皆立之所短，而為省身所長，故請毅然加以任命，以利所務之進行�！敝旒因懥⒓磸秃�（1947年3月6日）稱：“所長一席，非兄莫屬，萬祈切勿謙讓。成立時決發表先生為所長，并同時發表陳省身先生為代理所長，在臺端未返國以前，即由彼代理。”這段往事屢為前輩數學家提及，但多語焉不詳，有關細節是在80年代末查閱檔案時才發現的。如今重讀姜立夫的肺腑之言，愈見其胸襟坦蕩，遠見卓識。

姜立夫一生淡泊名利，廉潔自守。中央研究院數學研究所籌備之初，他毅然退回了豐厚的籌備處主任薪金，并建議“主任與秘書均定為不支薪之名譽職，其余事務員等一切從簡，所省經費全為購書之用”（致傅斯年的信，1941年2月25日）。據陳省身回憶，籌備期間，研究人員均為兼任，均不支薪。從籌備之初到建所之后，專職行政人員始終只有一位管理員。1946年5月，姜立夫奉派赴美國進修。在回顧幾年來的籌備工作時他說：“自受籌備之命，迄立出國之日，為時五年，國境方被封鎖，無法打破，現實蹉跎歲月，深慚無功。惟是五年之中，未嘗浪費一錢、濫用一人，幸亦得免于罪�！保ㄖ轮旒因懙男�，1947年2月14日）1950年，他還向中國科學院移交了中央研究院數學所的一筆鮮為人知的外匯余款。

由于長期從事中國數學教育與研究事業的開創和領導工作，姜立夫長期擱置了自己的學術研究。早在1926年在廈門大學執教時，他就曾對當時在身邊做助教的江澤涵說：“前此數年，我把全部精力用來教書、教學生，此后我也要繼續研究，教自己了。”但是，在以后漫長的半個世紀中，他始終是教人先于“教己”。在中山大學時，他年事已高，但晚上為學生補課卻風雨無阻。1955年冬在一次講課中他因心肌梗塞而暈倒，從此學校不再安排他課堂教學，但他很快就在家里掛起黑板，組織討論班，與中青年教師、研究生和進修教師一起，邊讀書邊研究，還從事數學圖書的翻譯，直至“文化大革命”開始。

縱觀姜立夫的一生，雖學術著作不多，但他為中國現代數學事業所作出的廣泛而卓越的貢獻，將會永留史冊。