蘋果樹下散步討論問題結出的果實

希爾伯特他們三人都對數學有濃厚的興趣，每天下午“準5點”都會在校園旁邊的蘋果樹下相聚，邊散步邊討論數學問題。有時他們也會爭得面紅耳赤。一天曾有一位訪問學者偶然經過這里，聽到有爭吵聲，他駐足觀看發現有三位年輕人正在激烈地爭論著數學問題，并沒有注意有其他人路過這里。

后來希爾伯特回憶這段生活時說，“日復一日的散步中，我們全都埋頭討論當前數學的實際問題；相互交換我們對問題新近獲得的理解，交流彼此的想法和研究計劃。”他們三人中，赫維茨有著廣泛堅實的基礎知識，又經過很好的整理，所以他是理所當然的帶頭人，并使其他兩位心悅誠服。希爾伯特發現這種學習方法比鉆在昏暗的教室或圖書館里啃書本不知要好多少倍。這種例行的散步一直持續了整整八年半之久，他們以這種悠然有趣的學習方式探索了數學的“每一個角落”，并思考著數學未來的發展。希爾伯特后來回憶道：“那時從沒有想到我們竟會把自己帶到那么遠！”三個人就這樣“結成了終身的友誼”。

其實這就是希爾伯特之所以能夠在1900年提出23個數學問題背后的故事，這些問題都是他們在散步時討論過的，希爾伯特把他們的討論的內容又做了深入的思考和整理。 蘋果樹下的散步結出了豐碩的成果。 

理性的洞察力

希爾伯特的一生都充滿了理性的精神。在柯尼斯堡市政會授予他“榮譽市民”稱號的儀式上，希爾伯特作了“認識自然和邏輯”的著名演說。他從宣布“認識自然和生命是我們的最高任務”的論題開始，論及到自然客體、經驗事實、邏輯思維、理論表述在人類認識自然中的地位和作用，人類認識自然的途徑、機制和法則，以及數學在認識自然中的地位。希爾伯特的演說，充滿著哲理，閃爍著理性地看待自然的光輝，引人入勝，感染著眾多的聽眾。

希爾伯特在數學研究中的理性精神，充分表現在他對“數學問題”在數學研究活動中的作用和地位的認識上。歷史上眾多的數學家整天忙于解決數學問題，但常常對數學問題本身的認識論問題缺乏反思。1888年希爾伯特成功地解決了代數不變量中的“哥爾丹問題”，1898年又成功地解決了變分法中的“狄利克雷原理問題”。這兩個問題都是當時著名的數學難題，它們的解決對數學這兩個分支領域的發展起了積極的作用。

希爾伯特切身地體驗到：重大的個別問題是數學的活的血液；單個重大問題的解決，其意義遠遠超出了問題的本身。接著，他對數學問題的一般認識論意義進行了深刻的反思。1900年他被特邀在巴黎第二屆國際數學家大會上作了“數學問題”的演說。在這篇著名的演說中，他論述了“數學問題對數學發展的推動作用”，論述了“數學問題產生的源泉”，論述了“解答數學問題的一般要求和途徑”等認識論和方法論問題。

接著，他在總結19世紀數學研究成果和發展趨勢的基礎上，在世紀之交向全世界的數學家們提出了“二十三個數學問題”，他認為這些問題可能是20世紀數學領域中最活躍、最關鍵、最有影響的課題。20世紀以來數學發展的歷史表明，這些問題涉及到現代數學的許多重要領域，引起了數學界持久的關注，對20世紀數學發展的確起了重要的指導作用。不管哪位數學家，若能解決其中一個問題，就能在數學家共同體內獲得一個榮譽地位。