事實上，在400多年的時間里，由羅利爵士（Sir Walter Raleigh）最早提出的這個問題——“開普勒猜想”（Kepler’s Conjecture）——難倒了眾多數學家。雖然最新一期的《數學年刊》（Annals of Mathematics）上刊登了匹茲堡大學數學教授托馬斯•海爾斯（Thomas C Hales）1998年完成的證明論文，但此種權威數學界承認某一難題有了最終解答的通常形式，這一次似乎卻引起了更大的爭論。爭論的中心便是，你信得過一臺計算機的計算結果嗎？

說起開普勒猜想的歷史，要回到1590年的某一天。在為自己的船隊出海遠征前準備物資時，沃爾特•羅利爵士突然想到:能不能根據一堆擺放整齊的炮彈的高度，推算出這些炮彈的準確數目呢？他的助手、數學家托馬斯•哈里耳特（Thomas Harriot）幾乎毫不費力的就給出了答案。然而，當更深入地思考這個問題時，哈里耳特卻發現，其中的奧秘并不那么簡單。水手們慣常使用的擺放方式是否是最節約空間的方式？怎樣擺放球體，才能使它們占用最少的地方？哈里耳特設想出了多種堆放模型，并在此基礎上發展出了自己的原子理論。

幾年后，在寫給著名天文學家開普勒（Johannes Kepler）的信中，哈里耳特提到了這個問題。在經過一系列的試驗之后，開普勒在1611年出版的小冊子《新年禮物——論六出的雪花》中提出了自己對于問題正確解答的猜想:當大小相當的球體按照“面心晶體”——球心位于正方體各面的中心上——的形式，并且將第一層擺放成六角形時，它們占用的空間最小，對空間的利用率可以超過74%。雖然開普勒沒有為自己的猜想給出證明，但他的影響力卻使該問題自此被命名為“開普勒猜想”。

開普勒猜想被提出之后，許多數學家都試圖為其給出證明。但直到200多年后，另一位偉大的數學家高斯（Carl Friedrich Gauss）才在1831年部分證明了開普勒猜想，即對于規則形狀，開普勒猜想是正確的。但在此之后，開普勒猜想的證明工作再度停滯。在1900年的國際數學家大會上，數學家大衛•希爾伯特因此將其列入了著名的“二十三個未解數學難題”之一。

1953年，匈牙利數學家拉茲洛•費耶•托斯（Laszlo Fejes Toth）指出，無論對于規則和不規則形狀，開普勒猜想的證明都可以減少到有限次數——但數目極為龐大——的計算。這就意味著，從理論上講，一種窮盡所有可能的證明方式是可行的。而一臺速度足夠快的計算機就可以將這種設想變為現實。

從1992年開始，遵循著托斯的思路，當時在密歇根大學的海爾斯開始與自己的學生合作，使用計算機輔助證明開普勒猜想。在經過了6年的運算后，1998年8月，海爾斯宣布證明完成。他的全部證明包括250頁筆記，3GB的計算機程序、數據和運算結果。

雖然海爾斯的證明是如此的有異于常態，但《數學年刊》還是同意發表這篇論文。為此，《數學年刊》還特意聘請了匈牙利科學院的加伯•費耶•托斯（Gabor Fejes Toth）——拉茲洛•費耶•托斯的兒子——擔任評審委員會的負責人。

開普勒猜想并不是第一個依賴計算機獲得證明的著名數學難題。1976年，伊利諾伊大學的兩位數學家就使用計算機證明了著名的四色定理，即任何一幅地圖，只需要使用四種顏色，就能確保相鄰的兩個地區顏色不會相同。這個證明發表后，數學家們不斷地從中發現若干錯誤。雖然每一次有錯誤被發現時，研究人員都能迅速地改正這些錯誤，但這卻給許多數學家留下了非常糟糕的印象。

為了避免重蹈四色定理證明的覆轍，《數學年刊》的工作人員決定對開普勒猜想的證明進行徹底而謹慎的檢驗。但是，在花了近6年的時間驗證了海量的數據后，去年，評審委員會卻無奈地宣布放棄全面驗證開普勒猜想證明結果的計劃。他們驗證到的所有部分都絲毫無誤，但要把全部數據都一一核查清楚，卻是一件幾乎不可能完成的使命。

《數學年刊》無奈之下，想出了一種變通的解決辦法。他們打算在發表的論文之前加上一條免責條款:本證明大部分，但非全部，被驗證過。但是，這個主意卻遭到了許多數學家的批評。最后，在征求了另一位數學家的意見后，《數學年刊》做了一個所羅門王式的決定。把論文一切兩半，刊登已經使用傳統方式驗證過的證明，舍去計算機運算的數據。

其實，圍繞開普勒猜想證明的一系列爭論，很大程度上是“數學課是否應該允許學生使用計算器”的高端版本，只不過爭論的雙方變成了專業的數學家，而價值判斷的取舍也更為困難。問題的焦點在于，如果接受了海爾斯的證明，也就意味著，假定計算機在執行計算時完全無誤，不會存在任何微小的程序錯誤。而是否真的是這樣，人類很難憑借自己的能力做出判斷。就像普林斯頓數學教授約翰•康威（John Conway）在接受《紐約時報》采訪時說的:“我不喜歡它們（計算機證明），因為你感覺不知道究竟發生了什么。”

對于一向追求憑邏輯和運算即可判定真偽，并以明確簡潔的證明為“好的數學”的原則的數學界而言，這無疑是讓人非常難以接受的結果。更何況，計算機的運算也并非無可挑剔。英特爾公司就一直在使用校驗工具軟件檢查其計算機芯片的運算法則，希望避免1994年奔騰芯片曾經出現過的數據運算錯誤再度發生。

不過，也有樂觀的數學家指出，既然現在最好的計算機可以在比賽中打敗世界象棋冠軍，那么，未來的計算機也應該能夠解出難倒了最偉大的數學家的數學難題。但問題的關鍵似乎不在于此。開普勒說過，數學是惟一好的形而上學。用計算機如此形而下的方式解答他留下來的猜想，多少總有些諷刺的味道罷。

2004-04-29