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但是，談起２０世紀的數學，我想，至少應該記住三個人的名字：龐加萊、希爾伯特和馮·諾伊曼，他們是２０世紀最有影響的數學家。龐加萊是非線性數學（如現代時髦的渾沌理論）的奠基人以及當代數學女王——拓撲學的創建者。馮·諾伊曼被稱為“計算機之父”和現代計算數學的奠基人，而數理經濟學和對策論（一譯博奕論）也由他首先取得突破的。而對２０世紀主流數學——結構數學有巨大影響的當屬希爾伯特。
希爾伯特通過兩條途徑對２０世紀數學施加影響：一條是通過自己遍及數論、代數、幾何、分析以及數學基礎的工作，一條是通過提出并研究數學前沿的問題指出未來數學發展的方向。他之所以能做到這點，除了他的天才和格廷根的優美環境之外，就要歸結為他的獻身精神——熱愛數學、學習數學的熱望，不斷地去深入理解數學的任何一個部門。總之，使數學成為生活中不可或缺的東西。筆者在格廷根的檔案館中發現他的記錄和筆記中，有一部分是他取得博士學位以后，訪問國內國外知名數學家的記錄；另有三大本筆記，詳細記錄他提出的各種問題以及對各種問題的思考；而他在１９００年８月８日關于《數學問題》的報告顯然不是急就章，而是長年思考積累的結果。
希爾伯特的報告不是大會報告，而是數學史組的分組報告，從這個意義上來講，那時人們的確重視科學發展的歷史，而也正是這種重視歷史的心態，才使這些最偉大的數學家成就其歷史的偉業。從另外一個意義上來講，希爾伯特的２３個問題是一個繼往開來的文獻，說它繼往，是它總結了１９世紀幾乎所有未解決的重要問題；說它開來，是這些問題的確推動了２０世紀數學的進步。因此各數學大國，美國、前蘇聯、日本以及法國、德國和英國的數學家或組織起來或單獨研究希爾伯特問題的歷史和現狀，并進一步提出新的問題。這里我們也極簡單地概括一下，欲知其詳，則有待于專著的問世。
希爾伯特的２３個問題分屬四大塊：第１到第６問題是數學基礎問題；第７到第１２問題是數論問題；第１３到第１８問題屬于代數和幾何問題；第１９到第２３問題屬于數學分析。從順序上講，顯然希爾伯特把自己的重點放在數學基礎上，他自己的工作也正為締造數學大廈牢固的基礎而努力。從１９世紀末希爾伯特已致力把數學建立在少數公理的基礎上。他還是集合論最早的少數支持者之一，把數學建立在集合論基礎上成為他的夢想。這可以解釋他為什么把集合論頭號問題——連續統假設列為自己的第１問題。
希爾伯特通過自己的工作包括他的基礎問題對于２０世紀數理邏輯的發展起了決定性的影響。但是希爾伯持的綱領卻由于哥德爾１９３０年的不完全性定理而不能實現，從此數理邏輯走向獨特的發展道路。從新的觀點看，第１、第２以及第１０問題屬于數理邏輯的范圍，第３、第４、第５、第６屬于較為具體的學科。從某種意義來講，這些問題可以說都在不同程度上得到解決。
數論這一塊是希爾伯特本人在１９００年之前最為關注的領域，他本人的工作對這領域的發展也有決定性的影響。出乎他本人的預料，第７問題在他在世時已經解決，而第８問題的黎曼猜想卻至今還距離完全解決尚遠，成為未來世紀數學家的頭號難題。由第１２問題衍生出的朗蘭茲（ＬａｎｇＬａｎｄｓ）綱領，更是遠未解決，而其它４個問題可以說已經基本解決。
２０世紀的代數學已由方程論和不變式論發展為抽象代數學或近世代數學，這條發展路線雖然同希爾伯特問題關系不大，但的確是在希爾伯特本人工作的影響之下發展起來的。１３、１４和１７這三個代數問題可以說基本解決，它們也給２０世紀數學帶來新的方向。幾何的三個問題中，第１５問題對于代數幾何學的嚴格化有重要影響，而代數幾何學在２０世紀是一門對各方面都有巨大影響的主流學科，它的基礎已經建立在交換代數學的基礎上。與此相反，１６問題前半的實代數幾何學進展不大，盡管希爾伯特的問題有很大進步。１６問題后半的極限環問題經過一個世紀的努力可以說進展甚微，具體講每一個重要進展在多年之后都發現不對。１８問題共有三問，前兩問已經圓滿解決，而第三問則發展成一個十分活躍的領域，特別是開普勒（就是發現行星運動的三定律的那位）猜想終于在本世紀結束之前完全證明。
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希爾伯特的５個分析問題，可以說都基本解決。希爾伯特從１９００年起研究分析，特別是狄式原理和積分方程直接推動偏微分方程和泛函分析的發展。總之，希爾伯特２３個問題有４個問題仍是下世紀的大問題（第８、第１２、１６Ｂ、１８Ｃ），而其他問題則應在基本解決的基礎上提出更多更新的問題。
回顧一個世紀數學的發展，我們的確可以看到希爾伯特通過他自己的工作和提出的問題，把２０世紀數學帶上一條健康發展的道路。當然，即使像希爾伯特這樣的數學巨人，也自然會有他的局限性。他基本上沒有涉及龐加萊的組合拓撲的工作，Ｅ·嘉當關于李代數的工作以及黎曼幾何與張量分析和群表示論的研究。但是，他的工作和他的問題同２０世紀特別是上半世紀一半以上的數學研究有聯系。
而到２０世紀末，數學已發展成如此龐大的領域，已經找不到一個人來提出全面數學問題的清單，他的工作需要幾十人來代替。這些領袖人物雖然不像希爾伯特那樣廣博，但決不是狹窄領域的專家，他們都多少繼承希爾伯特的基因，在學科交叉上看到數學未來的前沿。而這正預示著下一世紀數學輝煌的前景，也是解決老問題，提出新問題的關鍵所在。
希爾伯特的２３個問題簡介
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