林群：據您所說的，站在數學內部看，上個世紀的數學必須歸結到1900年8月6日，在巴黎召開的第二屆國際數學家大會代表會議上，38歲的德國數學家希爾伯特(Hilbert, 1862--1943)所發表的題為《數學問題》的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數學研究的成果和發展趨勢，提出了23個最重要的數學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題。這一演說成為世界數學史發展的里程碑，為20世紀的數學發展揭開了光輝的一頁。在這23個問題中，頭6個問題與數學基礎有關，其他17個問題涉及數論、不定積分、二次型理論、不變式理論、微分方程、變分學等領域。 

到了1905年，愛因斯坦創立了狹義相對論（事實上，有兩位數學家，龐加萊和洛倫茲也已經走到了相對論的門口），1907年，他發現狹義相對論應用于物理學的其他領域都很成功，唯獨不能應用于萬有引力問題。為了解決這個矛盾，愛因斯坦轉入了廣義相對論的研究，并很快確立了“廣義相對論”和“等效理論”，但數學上碰到的困難使他多年進展不大。大約在1911年前后，愛因斯坦終于發現了引力場和空間的幾何性質有關，是時空彎曲的結果。因此愛因斯坦應用的數學工具是非歐幾何。1915年，愛因斯坦終于用黎曼幾何的框架，以及張量分析的語言完成了廣義相對論。 

還有您講的德國女數學家諾特（1882~1935）發表的論文《環中的理想論》標志著抽象代數現代化開端。她教會我們用最簡單、最經濟、最一般的概念和術語去進行思考：如同態、理想、算子環等等。

還有其它許多數學大成果。偷懶一點說，20世紀近50名菲爾茲數學獎得主的工作都是數學內部的大成果。但從數學以外，或從推動社會發展這個角度來看，也許與計算機的算法研究有關的數學，更有影響。這種研究發生在第二次世界大戰前后，有三位數學家（圖靈、哥德爾、馮.諾依曼），而不是工程師，由于對于計算機的誕生、設計和發展起了奠基和指導的作用，因此被列入20世紀“百年百星”的名單中。

另外兩位獲得諾貝爾獎的純數學家（康托洛維奇、納什）也是與算法研究（或軍事數學）有關，后者被拍成電影，剛獲得奧斯卡獎。我國首屆國家最高科技獎（不是數學獎）得主吳文俊的工作也包括了算法的研究。有一次在中國十大科技進展中有一項數學家堵丁柱的工作，也是有關算法的。值得注意的是，這些人都沒有獲得菲爾茲獎。

與算法研究（或軍事數學）有關的，還有籌學、密碼學以及大規模科學工程計算等等。我怎么會有一個模模糊糊的感覺（被吳文俊感染的？），好象二十世紀中，以算法為主干的數學研究對于外部世界，科技和軍事，有相當直接的影響。本世紀（信息、材料、生物）是否還會如此？等著瞧！ 

二、數學研究領域的重大難題

記者：剛才林院士為我們勾勒了二十世紀數學研究的圖景。應該說在20世紀，無論是經典的數學分支，還是新興的數學分支，都取得了相當大的進展。然而我們也看到，在數學研究的歷程中，存在諸多遺憾，有多難題至今沒有解決，或者沒有得到完美的解決。林先生，在數學研究當中，您認為在數學領域存在著哪些重大難題？ 

林群：至于難題，應該說解決需要很大的決心，我以為我們科研工作者能做好自己的本職工作，上個世紀沒有解決的難題，這個世紀也未必可以解決。應該說二十世紀是數學大發展的世紀。從報道上看，數學的許多重大難題得到了解決，如費爾瑪大定理的證明，有限單群分類工作的完成等，從而使數學的基本理論得到空前發展。 計算機的出現是20世紀數學發展的重大成就，同時極大推動了數學理論的深化和數學在社會和生產力第一線的直接應用。回首20世紀數學的發展，象您所說的，數學家們深切感謝20世紀最偉大的數學大師大衛·希爾伯特。正如我們在開始談到的，希爾伯特在1900年8月8日于巴黎召開的第二屆世界數學家大會上的著名演講中提出了23個數學難題。希爾伯特問題在過去百年中激發數學家的智慧，指引數學前進的方向， 其對數學發展的影響和推動是巨大的，無法估量的。效法希爾伯特，許多當代世界著名的數學家在過去幾年中整理和提出新的數學難題，希望為新世紀數學的發展指明方向。

數學領域其他的難題可以說層出不窮，根據您提供的信息，簡單的至少有以下幾個： 

第一個是哥德巴赫猜想 

第二個是連續統之謎 

第三個是四色問題

第四個是幾何的三大問題 

第五個是費馬最后定理 

 第六個是七橋問題（一筆畫問題）

七、我國數學研究現狀與對遠程教育的看法 　

記者：目前，我國基礎教育正在進行課程改革和全力推行素質教育，您認為我國中小學數學教育存在什么問題，應該如何解決？ 

林群：數學是個繼承的學問，最主要的部分是小學的數學，是我們學習數學的基礎。中學把算術提升到代數，來求解方程，并且出現了幾何，具有了數形，這樣就有了初等的數學的雛形，初等數學研究固定不變的東西，然而我們的世界是變化的，高等數學研究變化的東西，在研究方法上，以不變求萬變。把變化的東西瞬間凍結起來，就變成不變的東西。歸根結底，我們要把變化東西變成不變的東西，再利用初等數學的方法去研究，所以中小學數學太重要了。笛卡爾（偉大的哲學家，數學家）曾經說過，拿一個復雜的問題不能接受，除非能分解成很多簡單的問題，而每個問題又能夠容易解決。然后再組裝起來。在我們中國有個老話：化整為零，各個擊破。創新應該是繼承下的創新，不能一步登天。中小學教育非常要緊。而現在的一些中小學教師不知道中小學和大學在什么地方接軌，只知道讓學生解各式各樣的題目，無的放矢。所以教師水平必須提高。我認為教師隊伍以碩士為主，是我國教育的必行之路。 

必須要有高素質的教師隊伍，好的教師就有好的教法，教師是非常神圣的事業。希望廣大教師朝這個目標走，現在很多政策影響我們年輕教師，超級提拔起了很壞的影響。年輕教師必須有幾年積累。數學是積累第一，天才第二。所有教師要努力，提高素質，教科書改好了，如果沒有高素質的教師，也沒有太大的用處。 

我認為可以把數學的一些基本的問題放到中學中去。應該說“傻瓜數學”極其重要，數學應該被大多數人所掌握，而不是少數人掌握。比如牛頓積分公式，在古代阿基米德有很多技巧解決微積分上的一些基本問題。世上的人都很崇拜他，認為他很了不起，但是牛頓發現了積分公式，積分便為大多數人所掌握。這個公式便是一個“傻瓜化”的過程，使大多數人只要知道這個公式，經過一定的訓練，便能夠做解決很多積分上的問題。計算機上的算法就是解題傻瓜化。在每個領域經過訓練就能夠被掌握，為社會服務。 

數學除了需要依靠嚴密的邏輯推理，還有一個發明和實驗的過程。好的教師除了會證明，還有學會發明。教會學生去發明，不是僅僅教會證明。證明三角形內角和 ，是作一條平行線，但是我們事先怎么知道三角形的內角和是 呢？原來是先觀察矩形，矩形的四個角是直角，所以矩形的內角和為 ，矩形能分成兩個相同的直角三角形，所以每個直角三角形的內角和為 ，因為每個三角形可以分成兩個直角三角形，這兩個直角三角形排除兩個直角，剩下的就是這個三角形的內角和 。

記者：林先生對遠程教育和教師還有什么建議和期望？ 

林群：遠程教育方向特別好，是未來教育的發展方向，代表著時代的潮流，畢竟我們很多地方不能聽見很優秀的教師的講課。如果遠程教育能夠完整建立，那么就數學而言，大部分人都能聽見諸如吳文俊先生的講課，對我們的未來的發展相當有益，這樣我們能節約很多人力資源，這些人有更充分的時間作科學研究。但是還有很多問題沒有解決，比如傳輸數據的問題，面對面交流的問題，疑難解答的問題等等，如果這些問題解決了，那么我們的遠程教育將有相當大的優勢。

中小學是我們培養人才的基石。所以我們必須建設好這一塊，我們的中小學教師默默工作在教育的最前線，成就十分偉大，為中國和世界提供很多人才，我們應該尊重教師的成果，為中國教師有這樣偉大的成就而自豪。 

但是我國的中小學教師還有不足，自己的學術視野不夠寬闊，對一些科學的知識背景不了解，還有待于提高，希望我們共勉之。一起為祖國的教育事業而努力。