數學王子高斯有一句名言：“數學是科學的女王”；他又講：“數論是數學的王冠”。俄國數學家辛欽曾經評論說，哥德巴赫猜想是王冠上的一顆明珠。當然，這個王冠上可能還有其它明珠。

哥德巴赫并不是職業數學家，而是一個喜歡研究數學的富家子弟。他于1690年生于德國哥尼斯堡，受過很好的教育。哥德巴赫喜歡到處旅游，結交數學家，然后跟他們通訊。1742年，他在給好友歐拉的一封信里陳述了他著名的猜想――哥德巴赫猜想。歐拉在回信中說，他相信這個猜想是正確的，雖然他不能給出證明。

用當代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個內容，第一部分叫做奇數的猜想，第二部分叫做偶數的猜想。奇數的猜想指出，任何一個大于等于7的奇數都是三個素數的和。偶數的猜想是說，大于等于4的偶數一定是兩個素數的和。

任何人看了這個猜想之后，都能發現這是一個漂亮的猜想。本人認為，一個好的猜想應該具備以下四個條件。第一，它的表述應該很簡單，大凡智力正常的人一聽就能明白。我相信，小學四、五年級的學生都能明白哥德巴赫猜想的內容。第二個條件，雖然表述很簡單，但是這個猜想的證明斷然不能簡單。第三點，一旦有了證明，這個證明一定是出人意料的。一個好的猜想的證明一定是有趣的，絕對不能像愚公移山一樣，天天重復同樣枯燥的工作，重復了上萬年，才取得成功。第四點，這個猜想絕對不能是孤立的，任何孤立的猜想在數學中都沒有太大的意義。一個好的猜想的研究應該可以提升到人類文化史的高度上來看，能夠帶動其它相關領域，甚至是數學以外的學科的發展。具備上面這四點，那就是一個偉大的猜想。我個人認為，哥德巴赫猜想就具備以上這四個條件。

給定一個猜想，人們可以用各種各樣的方法進行研究。譬如，對于哥德巴赫猜想，有人可能用數手指頭的方法來研究，這人可能是小學生。有人想用打算盤的方法來研究，那這人可能是一個小店的會計兼出納。真正研究這個猜想，則需要可以看出數學的特性――數學是在所有科學當中唯一能夠處理無窮的學科。我們不能用做實驗的方法來研究哥德巴赫猜想。計算機算得再快，也只能在有限時間內算有限個數；然而，遺憾的是，奇數和偶數都有無窮多個。所以，這個猜想讓迷信實驗的人非常沮喪。不過，在最好的計算機所能算到的范圍之內，哥德巴赫猜想全是對的。

相對來講，奇數的猜想比較容易，因為它是偶數的猜想的推論。如果每個大偶數都能寫成兩個素數之和，那么我們就能夠證明任何大奇數都是三個素數之和，因為任何奇數減去3都是一個偶數。

關于哥德巴赫猜想的研究，歷史上第一個重要文獻是哈代和李特伍德1921年的偉大論文，在這篇長達70頁的文章里，他們提出了圓法。哈代在英國皇家學會演講時說：“我和李特伍德的工作是歷史上第一次嚴肅地研究哥德巴赫猜想”，雖然此前很多有名的數學家都研究過這個猜想，甚至有人宣布證明了猜想。然而，哈代和李特伍德對奇數猜想的證明依賴于一個條件――廣義黎曼猜想――這個猜想到現在也未被證明。在英國人看來，哈代重振了牛頓以后的英國分析。 

1937年，俄國數學家維諾格拉朵夫（I．M．Vinogradov）無條件地基本證明了奇數的哥德巴赫猜想。維諾格拉朵夫定理指出，任何充分大的奇數都能寫成三個素數之和。也就是說，在數軸上取一個大數，從這個數往后看，哥德巴赫猜想都對；在這個數前面的奇數，需要用手或計算機來驗證。然而，至今計算機還未能觸及那個大數。

維諾格拉朵夫的證明發表之后，又出現了幾個新證明。這些證明既簡潔，又提供了完全不同的方法。在這些新證明中，有三個特別應該強調的：一個是俄國數學家林尼克（Yu．V．Linnik）的，再一個是潘承洞先生的；還有英國數學家沃恩（R．C．Vaughan）的。在相當長的一個階段內，人們認為林尼克是離哥德巴赫猜想很近的人，他對哥德巴赫猜想進行了深入的研究。與此同時，他還是一個很好的數理統計學家。

很遺憾，偶數的哥德巴赫猜想到現在都沒有得到證明。但是，數學家們從各個方向逼近這個猜想，并且取得了輝煌的成就。其中，命題（1＋2）的證明是陳景潤先生完成的。 

中國科技信息研究所加工整理 20030211