而下面的文章，則純粹從學術的角度介紹了哥德巴赫猜想的研究歷史，也是一篇很好的科普文章。希望有助于人們更深入地了解哥德巴赫猜想，當然，我們也把此文獻給去世5年的潘承洞先生——他的名字已經鐫刻在哥德巴赫猜想研究的年表上。

數學與數論

數學王子高斯(C. F. Gauss)有一句名言：“數學是科學的女王”；他又講“數論是數學的王冠”。正如他所說，數論在數學中一直處于醒目的地位。

18世紀的領袖數學家拉格朗日(J. L. Lagrange)有一個著名的定理，即任何一個正整數都能寫成四個整數的平方和。這個定理是費馬(Fermat)早年的猜測，與拉格朗日同時代的大數學家歐拉(L. Euler)曾經給出一個不完整的證明。第一個完整的證明是拉格朗日給出的。他在完成這個工作之后很感慨，在給歐拉的一封信中，他說：“對我來講，算術是最難的�！边@里，算術就是數論。這是拉格朗日對數論的評價。

何謂哥德巴赫猜想？

俄國數學家辛欽(A. Ya. Shinchin)曾經評論說，哥德巴赫猜想是王冠上的一顆明珠。當然，這個王冠上可能還有其它明珠。

哥德巴赫(C. Goldbach)并不是職業數學家，而是一個喜歡研究數學的富家子弟。他于1690年生于德國哥尼斯堡，受過很好的教育。哥德巴赫喜歡到處旅游，結交數學家，然后跟他們通訊。1742年，他在給好友歐拉的一封信里陳述了他著名的猜想——哥德巴赫猜想。歐拉在回信中說，他相信這個猜想是正確的，雖然他不能給出證明。

用當代語言來敘述，哥德巴赫猜想有兩個內容，第一部分叫做奇數的猜想，第二部分叫做偶數的猜想。奇數的猜想指出，任何一個大于等于7的奇數都是三個素數的和。偶數的猜想是說，大于等于4的偶數一定是兩個素數的和。

任何人看了這個猜想之后，都能發現這是一個漂亮的猜想。本人認為，一個好的猜想應該具備以下四個條件。第一，它的表述應該很簡單，大凡智力正常的人一聽就能明白。我相信，小學四、五年級的學生都能明白哥德巴赫猜想的內容。第二個條件，雖然表述很簡單，但是這個猜想的證明斷然不能簡單。第三點，一旦有了證明，這個證明一定是出人意料的。一個好的猜想的證明一定是有趣的，絕對不能像愚公移山一樣，天天重復同樣枯燥的工作，重復了上萬年，才取得成功。第四點，這個猜想絕對不能是孤立的，任何孤立的猜想在數學中都沒有太大的意義。一個好的猜想的研究應該可以提升到人類文化史的高度上來看，能夠帶動其它相關領域、甚至是數學以外的學科的發展。具備上面這四點，那就是一個偉大的猜想。我個人認為，哥德巴赫猜想就具備以上這四個條件。

給定一個猜想，人們可以用各種各樣的方法進行研究。譬如，對于哥德巴赫猜想，有人可能用數手指頭的方法來研究，這人可能是個小學生。有人想用打算盤的方法來研究，那這人可能是一個小店的會計兼出納。真正研究這個猜想，則需要很高深的數學工具。還必須指出的是，從這個猜想可以看出數學的特性——數學是在所有科學當中唯一能夠處理無窮的學科。我們不能用做實驗的方法來研究哥德巴赫猜想。計算機算得再快，也只能在有限時間內算有限個數；然而，遺憾的是，奇數和偶數都有無窮多個。所以，這個猜想讓迷信實驗的人非常沮喪。不過，在最好的計算機所能算到的范圍之內，哥德巴赫猜想全是對的。

奇數的哥德巴赫猜想

相對來講，奇數的猜想比較容易，因為它是偶數的猜想的推論。如果每個大偶數都能寫成兩個素數之和，那么我們就能夠證明任何大奇數都是三個素數之和，因為任何奇數減去3都是一個偶數。

關于哥德巴赫猜想的研究，歷史上第一個重要文獻是哈代(G. H. Hardy)和李特伍德(J. E. Littlewood)1921年的偉大論文，在這篇長達70頁的文章里，他們提出了圓法。哈代在英國皇家學會演講時說：“我和李特伍德的工作是歷史上第一次嚴肅地研究哥德巴赫猜想”，雖然此前很多有名的數學家都研究過這個猜想，甚至有人宣布證明了猜想。然而，哈代和李特伍德對奇數猜想的證明依賴于一個條件——廣義黎曼(B. Riemann)猜想——這個猜想到現在也未被證明。在英國人看來，哈代重振了牛頓(I. Newton)以后的英國分析。

1937年，俄國數學家維諾格拉多夫(I. M. Vinogradov)無條件地基本證明了奇數的哥德巴赫猜想。維諾格拉多夫定理指出，任何充分大的奇數都能寫成三個素數之和。也就是說，在數軸上取一個大數，從這個數往后看，哥德巴赫猜想都對；在這個數前面的奇數，需要用手或計算機來驗證。然而，至今計算機還未能觸及那個大數。

維諾格拉多夫的證明發表之后，又出現了幾個新證明。這些證明既簡潔，又提供了完全不同的方法。在這些新證明中，有三個特別應該強調的：一個是俄國數學家林尼克(Yu. V. Linnik)的，再一個是潘承彪先生的；還有英國數學家沃恩(R. C. Vaughan)的。在相當長的一個階段內，人們認為林尼克是離哥德巴赫猜想很近的人，他對哥德巴赫猜想進行了深入的研究。與此同時，他還是一個很好的數理統計學家。

偶數哥德巴赫猜想

很遺憾，偶數的哥德巴赫猜想到現在都沒有得到證明。但是，數學家們從各個方向逼近這個猜想，并且取得了輝煌的成就。我將介紹研究偶數的哥德巴赫猜想的四個途徑，其中幾乎每個途徑都有潘老師的工作。這四個途徑分別是：殆素數，例外集合，小變量的三素數定理，以及幾乎哥德巴赫問題。

途徑一：殆素數

殆素數就是素因子個數不多的正整數�，F設N是偶數，雖然現在不能證明N是兩個素數之和，但是可以證明它能夠寫成兩個殆素數的和，即N＝A+B，其中A和B的素因子個數都不太多，譬如說素因子個數不超過10。現在用狖a+b狚來表示如下命題：每個大偶數N都可表為A+B，其中A和B的素因子個數分別不超過a和b。顯然，哥德巴赫猜想就可以寫成狖1+1狚。
在這一方向上的進展都是用所謂的篩法得到的。

1920年，布朗(V. Brun)首先取得突破性的進展，證明了命題狖9+9狚。后續進展如下：哈德馬赫(H. Rademacher)，

1924，狖7+7狚；艾斯特曼(T. Estermann)，

1932，狖6+6狚；里奇(G. Ricci)，1937，狖5+7狚；布赫施塔伯(A. A. Buchstab)，

1938，狖5+5狚；布赫施塔伯，1940，狖4+4狚；庫恩(P. Kuhn)，

1941，a+b小于或等于6。

1950年，菲爾茲獎得主塞爾伯格(A. Selberg)改進了篩法。

王元先生1956年證明了狖3+4狚。

另一個俄國數學家阿·依·維諾格拉多夫(A. I. V inogradov)1957年證明了狖3+3狚，

王元先生1957年進一步證明了狖2+3狚。

上述結果有一個共同的特點，就是a和b中沒有一個是1，即A和B沒有一個是素數。所以，要是能證明a＝1，再改進b，那就是一件更了不起的工作。林尼克1941年提出來的大篩法使得這項工作成為可能。

后來，林尼克的學生、匈牙利數學家蘭易(A. Rényi)深入地研究了大篩法，并在1948年證明了命題狖1+b狚。

用王元先生的話說，這個b是個天文數字。當時，沒有人知道b究竟有多大。這個b的數值依賴于素數在算術級數中平均分布的水平，即另外一個重要常數θ的值。

此后便是潘承洞先生的偉大工作。1962年，28歲的潘承洞定出θ可以取1/3，從而推出命題狖1+5狚，一下子把b從天文數字降到了5。這是一個決定性的突破。

王元先生改進篩法之后，證明了狖1+4狚。

同一年，潘老師又得到了一個更大的θ＝3/8。從3/8出發，潘老師也證明了狖1+4狚。然后，布赫施塔伯證明了3/8蘊涵命題狖1+3狚，即從潘老師的θ＝3/8可以推出命題狖1+3狚來。以上結果表明，θ做得越大，b就越小。但θ不能太大，其可能的最大值是1/2；比1/2再大，均值定理的形式就會發生變化，所以可以認為1/2是最佳。1965年，θ的最佳值1/2被取到，這個定理就叫做龐比埃里-維諾格拉多夫(E. Bombieri--A. I. Vinogradov)定理，是龐比埃里和阿·依·維諾格拉多夫獨立證明的。龐比埃里是意大利數學家，因為這項工作獲得了菲爾茲獎。雖然龐比埃里證明了θ能取到1/2，但是他未能證明狖1+2狚。

命題狖1+2狚的證明是陳景潤先生完成的。1966年，陳景潤先生在《科學通報》上登了命題狖1+2狚證明的簡報，此后“文化大革命”開始，《科學通報》與《中國科學》隨即�？�。直到1973年《中國科學》復刊之后，陳先生狖1+2狚證明的全文才得以發表。

以上是沿著殆素數方向研究哥德巴赫猜想的進展。直到現在，狖1+2狚還是最好的結果。雖然突破狖1+2狚就會得到狖1+1狚，但是大家公認再用篩法去證明狖1+1狚幾乎是不可能的，只有發展革命性的新方法，才有可能證明狖1+1狚。所以，哈伯斯坦(H. Halberstam)與里切特(H. E. Richert)在他們的名著《篩法》(Sieve Methods)的最后一章指出：“陳氏定理是所有篩法理論的光輝頂點�！�

途徑二：例外集合

在數軸上取定大整數x，再從x往前看，尋找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶數，即例外偶數。x之前所有例外偶數的個數記為E(x)。我們希望，無論x多大，x之前只有一個例外偶數，那就是2，即只有2使得猜想是錯的。這樣一來，哥德巴赫猜想就等價于E(x)永遠等于1。當然，直到現在還不能證明E(x)＝1；但是能夠證明E(x)遠比x小。在x前面的偶數個數大概是x/2；如果當x趨于無窮大時，E(x)與x的比值趨于零，那就說明這些例外偶數密度是零，即哥德巴赫猜想對于幾乎所有的偶數成立。這就是例外集合的思路。

維諾格拉多夫的三素數定理發表于1937年。第二年，在例外集合這一途徑上，就同時出現了四個證明，其中包括華羅庚先生的著名定理。

現在，我每個月都要接見幾個業余搞哥德巴赫猜想的人，其中不乏有人聲稱“證明”了哥德巴赫猜想在概率意義下是對的。實際上他們就是“證明”了例外偶數是零密度。我告訴他們，這個結論華老早在60年前就真正證明出來了。

注意，我們的目標是證明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界記錄基本上是x的1次方，二者相差很遠。因此降低該上界中x的方次將是一件很重要的事。1975年，蒙哥馬利(H. L. Montgomery)與沃恩證明存在一個小于1的正數δ，使得E(x)的上界是x的δ次方。

1979年，潘老師與陳景潤先生合作，證明了這個δ可以取0.99。按照陳先生和潘老師的思路，后來有很多人都改進了δ的值。目前最好的結果是李紅澤教授2000年得到的，δ可以取0.92。

在廣義黎曼猜想之下，哈代和李特伍德證明了δ可取1/2。就是說，即使能夠證明廣義黎曼猜想，我們也不能進而推出哥德巴赫猜想。最近，我與葉揚波教授合作，利用廣義黎曼猜想和L-函數零點分布的統計規律猜想，進一步推進了例外集合的上界，證明了E(x)不超過lo g x的平方。請注意，與x的任何δ次方相比，log x增長都是很慢的。因此我們的結果指出，E(x)小于x的任何δ次方。

但是我們畢竟沒能證明哥德巴赫猜想。到目前為止，猜想研究的現狀仍然可以用潘老師生前的一句話來概括，即“哥德巴赫猜想甚至沒有一個假設性的證明。”

哈代1921年在皇家學會演講時指出：“哥德巴赫猜想似乎不能用布朗的方法（即篩法）來證明。”他說：“能夠最終證明猜想的方法，應該與我與李特伍德的方法類似。我們不是在原則上沒有成功，而是在細節上沒有成功。”哈代同時還指出，不是圓法無力，而是他與李特伍德的分析能力不夠。作者認為，更高階的L-函數應該是哈代和李特伍德所需要的分析工具；或許，將高階的L-函數融入圓法就會最終證明哥德巴赫猜想。

途徑三：小變量的三素數定理

上文曾經提到，如果偶數的哥德巴赫猜想正確，那么奇數的猜想也正確。我們可以把這個問題反過來思考。已知奇數N可以表成三個素數之和，假如又能證明這三個素數中有一個非常小，譬如說第一個素數可以總取3，那么我們也就證明了偶數的哥德巴赫猜想。這個思想就促使潘承洞先生在1959年，即他25歲時，研究有一個小素變數的三素數定理。這個小素變數不超過N的θ次方。我們的目標是要證明θ可以取0，即這個小素變數有界，從而推出偶數的哥德巴赫猜想。潘承洞先生首先證明θ可取1/4。后來的很長一段時間內，這方面的工作一直沒有進展，直到1995年展濤教授把潘老師的定理推進到7/120。這個數已經比較小了，但是仍然大于0。

途徑四：幾乎哥德巴赫問題

1953年，林尼克發表了一篇長達70頁的論文。在文中，他率先研究了幾乎哥德巴赫問題，證明了，存在一個固定的非負整數k，使得任何大偶數都能寫成兩個素數與k個2的方冪之和。這個定理，看起來好像丑化了哥德巴赫猜想，實際上它是非常深刻的。我們注意，能寫成k個2的方冪之和的整數構成一個非常稀疏的集合；事實上，對任意取定的x，x前面這種整數的個數不會超過log x的k次方。因此，林尼克定理指出，雖然我們還不能證明哥德巴赫猜想，但是我們能在整數集合中找到一個非常稀疏的子集，每次從這個稀疏子集里面拿一個元素貼到這兩個素數的表達式中去，這個表達式就成立。這里的k用來衡量幾乎哥德巴赫問題向哥德巴赫猜想逼近的程度，數值較小的k表示更好的逼近度。顯然，如果k等于0，幾乎哥德巴赫問題中2的方冪就不再出現，從而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。

林尼克1953年的論文并沒有具體定出k的可容許數值，此后四十多年間，人們還是不知道一個多大的k才能使林尼克定理成立。但是按照林尼克的論證，這個k應該很大。1999年，作者與廖明哲及王天澤兩位教授合作，首次定出k的可容許值54000。這第一個可容許值后來被不斷改進。其中有兩個結果必須提到，即李紅澤、王天澤獨立地得到k＝2000。目前最好的結果k＝13是英國數學家希思-布朗(D. R. Heath-Brown)和德國數學家普赫塔(Puchta)合作取得的，這是一個很大的突破。

一個數學家的價值

以上緬懷了潘承洞先生的部分工作，以及哥德巴赫猜想研究的最新進展。最后，我想引用哈代《一個數學家的自白》中的幾句話，來總結作為數學家的潘承洞先生的生平。哈代說：“人的首要責任就是要有雄心。在拿破侖的雄心中有某些高貴的因素，但是最高貴的雄心，就是要在死后留下具有永久價值的東西�！�

《一個數學家的自白》結尾寫道：“我的一生，或者在相同意義上作為數學家的那些人的一生，可以這樣總結：我們豐富了知識，也幫助別人更多地豐富了知識，而我們所做的這一切，與那些歷史上的大數學家和藝術家的不朽貢獻相比，只有程度的不同，沒有本質的差異�！�

哈代的朋友羅素說過：“我希望在工作中滿足地死去，因為我清楚地知道，所有能做的事都已完成，而且會有后人繼續我未竟的事業�！�

潘承洞老師永垂不朽，因為他的事業永垂不朽。

作者：劉建亞

(本文根據作者在紀念潘承洞院士逝世5周年學術報告會上講演整理而成，劉建亞是潘承洞先生的學生，現為“長江學者獎勵計劃”特聘教授，山東大學數學與系統科學學院副院長)