1981年出版了潘承洞與潘承彪合著的《哥德巴赫猜想》，對猜想的研究歷史，主要研 究方法及研究成果作了系統的介紹與有價值的總結，得到了國內外數學界的一致好評。他們還合箸了《素數定理的初等證明》（1988），《解析數論基礎》（1991），《初等代數數論》（1991）及《初等數論》（1992）。潘承洞與于秀源合箸了《階的估計》（1983）。潘承洞還寫了科普讀物《素數分布與哥德巴赫猜想》（1979）。這些箸作對我國數論的研究，教學和人才培養起了很好的作用。

潘承洞在解析數論研究中所取得的成就主要有以下幾個方面。

 1 　算術數列中的最小素數
　　設a 與q 是兩個互素的正整數, a < q , q > 2. 以P( q , a) 表示算術數列a + kq ( k = 0 ,1 ,2 , …) 中的最小素數。一個著名的問題是要證明P( q , a) 《 qlog2 q.
　　1944 年, Ю. В. 林尼克( Linnik) 首先證明存在正常數λ，使得P( q , a) 《 qλ。這只是一個定性結果，且證明很復雜與冗長 。K.A.羅托斯基（Rodoskii）才給了一個較簡單的證明，P.吐朗（Turan）在他的書末提及羅托斯基的方法并末給出λ的數值的任何消息，并指出如果改用他自已的方法。數學學報41 卷© 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights reserved。一個較簡單的證明, 但P. 吐朗( Turán) 在他的書末曾提及羅托斯基的方法并未給出λ的數值的任何消息, 并指出如果改用他自己的方法，很可能定出λ來，但始終未見有文章發表。1957年 ，潘承洞在他的兩篇論文[2 ,3 ]中， 通過對L 函數性質的深入研究，本質上改進了林尼克的證明，明確指出λ主要依賴于和L 函數有關的三個常數，具體給出了計算λ的方法。他先后得到了λ<10000與λ<5448。
        林尼克親自為他的文章寫了長篇評論。此后所有改進常數λ數值的工作都是在潘承洞所建立的這一框架下得到的。30 多年來主要改進是:λ ≤ 770 , 550 , 168 , 80 , 20 , 11. 5 , 8 , 5. 5。它們分別是由陳景潤，M. 尤梯拉(J utila) , 陳景潤, M. 尤梯拉, S. 格拉漢姆( Graham) , 陳景潤與劉健民 ，王煒，D. R. 黑斯- 布朗(Heath2Brown) 得到的。

2  哥德巴赫猜想, 大篩法, 以及素數分布的均值定理

為了研究著名的哥德巴赫猜想—每一個大于2 的偶數一定是兩素數之和，人們提出先研究這樣一個較簡單的命題: 存在一個正整數r , 使得每一個充分大的偶數一定是一個素數與一個不超過r 個素數的乘積的和，這一命題簡記為{ 1 , r} 。這樣, 哥德巴赫猜想基本上就是命題{ 1 ,1}。在哥德巴赫猜想提出200 多年后，A. 蘭恩易（Renyi）通過對林尼克的大篩法的重大改進 ，結合V. 布倫（Brun）篩法，證明了命題{ 1 , r} 。這是一個重大的開創性工作。但是由于證明方法上的缺點，他的結果是定性的，即不能定出r 的有效值 。蘭恩易證明的關鍵實質上隱含地就是要證明如下的素數分布均值定理: 存在正數η , 使得對任意的正數B 及ε有
Σd F xη-εmax( l , d) =1π( x ; d , l) -1φ( d)π( x) = Ox(log x) B 東省, (1)其中與"O"有關的常數依賴于ε與B ，φ( d) 是歐拉函數，π( x ; 1，1) 表示滿足條件p≤x,p≡l(mod d)的素數p 的個數, 并且π( x) = π ( x ; 1 , 1) . 蘭恩易把(1) 式左邊的和式轉換為估計一個對L函數零點求和的三重和式。這種和式的估計是很困難的。他通過對大篩法的改進，進一步改進L 函數零點分布的結論，從而直接估計出這個三重和式的最內層和，然后，再由顯然方法估計這個三重和式、由此，他證明了存在正數η使得(1) 式成立 ，進而推出存在正整數r 使命題{ 1 , r} 成立。由于蘭恩易只是有效地估計最內層和，所以無法有效地給出η和r 的值。

1962 年，潘承洞對大篩法與L 函數零點分布的結論做了進一步改進，使他得以對三重和式內的二重和式作整體的有效估計，他證明了當η = 1/ 3 時 ，(1) 式成立，進而推出命題{ 1 ,5} 成立。幾乎同時M. B. 巴邦( Варбанн) 獨立地證明過η = 1/ 6 時， (1) 成立 。但并未給出在哥德巴赫問題上的應用。潘承洞的結果是一個出人意料的重大進展。1963 年，他又與巴邦獨立地證明了當η = 3/ 8 時，(1) 式成立 ，并進而證明了命題{ 1 ,4} 。1965 年，E.邦別里（Bombieri）和A.I.維諾格拉多夫（Vinogradov）各自獨立地通過對大篩法的最佳改進 ，得以從整體上估計上述三重和式，從而證明了當η = 1/ 2 時(1) 成立，這是邦別里獲得菲爾茲獎的主要工作。H. 哈伯斯塔姆（Halberstam）在評論邦別里的這一工作時指出[34 ] : 潘承洞的結果是“真正杰出的工作”。1983年，E.福利（Fouvry）和H. 伊萬尼斯（Iwaniec）指出[35 ] : 邦別里-維諾格拉多夫定理是在林尼克、蘭恩 易、潘承洞、巴邦等人的“開創性工作的基礎上得到的”。

1973 年，潘承洞提出并證明了一類新的素數分布均值定理，它是邦別里-維諾格拉多夫定理的重要推廣與發展，能容易地解決后者所不能直接克服的困難 。利用這一新的均值定理不僅給出了陳景潤定理—命題{ 1 ,2} 的最簡單的證明，成為以后研究哥德巴赫猜想型問題的基礎，而且在不少著名解析數論問題中有重要應用 ，特別是1983 年黑斯—布朗在關于原根的E. 阿廷（Artin）猜想的論文中應用它得到了重要成果 。1988 年，H. E. 理歇特（Richert）在紀念華羅庚國際數論與分析會議上發表的綜述性論文[36 ]中，把邦別里—維諾格拉多夫定理，陳景潤定理 ，以及潘承洞的新均值定理稱為這一領域的三項最重要的成果。

3  小區間上的素變數三角和估計與小區間上的三素數定理
        1937 年，維諾格拉多夫證明了著名的三素數定理：每一充分大的奇數一定是三個素數的和。這就基本上解決了1742 年哥德巴赫所提出的猜想的一部分：每個大于5 的奇數都是三個素數之和。維諾格拉多夫的主要貢獻在于得到了素變數三角和
Σp F xe2πiαp的非顯然估計, 其中α為實數, p 為素數變數。

 C. B. 哈賽格廬烏(Haselgrove) 在1951 年首先考慮了這樣的問題: 每個充分大的奇數一定是三個幾乎相等的素數的和。他宣布了一個結果但沒有證明。精確地說，上述問題可以這樣表達: 存在正數c < 1 , 使對每個大奇數N , 素變數p1 , p2 , p3 的不定方程N = p1 + p2 + p3 ,N3 - Nc+ε F pj F N 3 + Nc+ε, 　=j = 1 ,2 ,3 (2)必有解。其中ε為任意的正數。這就是小區間上的三素數定理。解決這一定理的關鍵是估計小區間上的素變數三角和
Σ x - A < p < x  e2πiαp , (3)

其中2≤A≤X. 維諾格拉多夫曾經給出了三角和(3) 的一個非顯然估計，他的方法本質上是篩法。但是，他的結論不足以解決這一問題。

1959 年，潘承洞用分析方法給出了(3) 式的非顯然估計，再結合維諾格拉多夫的估計，證明了不定方程(2) 當c = 160/ 183 時有解，且有解數的漸近公式。雖然在他的證明中有缺陷，但他的方法為以后研究小區間素變數問題的論文經常運用。

1988 年起，潘承洞與潘承彪繼續發展了他的思想，發表了三篇論文，不僅完善了1959年的結果，而且全面完整地提出了用純分析方法來估計小區間素變數三角和(3) ，進而相繼證明了當c = 91/ 96 , 2/ 3 時(2) 有解, 且有解數的漸近公式. 這些結果后來進一步為賈朝華、展濤所改進。潘承洞在這些論文中提出的思想、方法，及改進圓法的應用 ，在研究一些解析數論問題中, 看來還有進一步發展的潛力。

4  哥德巴赫數的例外集

凡可以表示為兩個素數之和的偶數稱為哥德巴赫數. 命E( x) 表示不超過x 的非哥德巴赫數的偶數個數。1975 年, H. L. 蒙哥馬利(Montgomery) 與R. C. 沃恩(Vaughan) 證明了:存在δ > 0 使E( x) = O ( x1 - δ)，此處與“ O ”有關的常數依賴于δ，1979 年陳景潤與潘承洞首次指出δ是可以計算的，并給出估計δ > 0. 01。最近李紅澤進一步證明δ〉0.079 。

5  大篩法及其應用、

1963 年, 潘承洞證明了下面的結果: 命k =log q/log A+ 1 ，此處q 無平方因子. 若k<= F log3A ，則對于滿足A < p F2 A 及( p , q) = 1 的所有素數p，除了不超過A 1 -ε(ε > 0) 個屬于模D = pq 的例外L 2函數外，當χD ( n) 對p 本原時，L ( s , χD) 在區域
σ > 1 -2q- εk· log D4 log D + 2 log (| t | + 1) ，| t | F T內不為零。

這是蘭恩易結果的改良, 在他原來的結果中需有限制| T | ≤log3 D , 而這里T 是無限制的. 由這一估計可得下面的應用: 命N ( p , k) 表示模p 的最小k 次正非剩余, 此處A < p F2 A。則除了不超過A 1 -ε個例外素數p 之外, 恒有N ( p , k) = O ( (log A ) 18+ε) 其中與“O”有關的常數依賴于ε。

除解析數論外，潘承洞的研究領域還涉及其他一些數學分支及其應用。50 年代末，在廣義解析函數論及其在薄殼上的應用，數論在近似分析中的應用等方面；1970 年前后在樣條插值及其應用，濾波分析及其應用等方面，均做了一些工作。

潘承洞在山東大學數學系任教的30 多年中，始終在教學第一線，為大學生、研究生開設了10 多門課程，如數學分析、高等數學、實變函數論、復變函數論、階的估計、計算方法、初等數論、擬保角變換、素數分布、堆壘素數論、哥德巴赫猜想 ，等等。他對教學一貫認真負責。他講解生動，方法靈活，條理清楚，邏輯性強，善于深入淺出地啟發學生去理解和掌握課程的要點和難點，深受學生的歡迎. 在專心致志于教學、科研的同時 ，他還積極地和同事們一起為山東大學數學系和山東大學的建設與發展做出了貢獻。

本文由中科院數學所王元先生撰寫，原文發表于《數學學報》1998年第3期。