這種觀點(diǎn)是基于將數(shù)論看作是數(shù)學(xué)不可分割的一部分，甚至是拉動(dòng)數(shù)學(xué)發(fā)展的重要內(nèi)部動(dòng)力。數(shù)論絕不是一個(gè)個(gè)孤立問(wèn)題的總和，或者說(shuō)，不是僅從整數(shù)的定義出發(fā)就可以研究數(shù)論的。

按照這樣的要求，非常重要的數(shù)論問(wèn)題就比較少了。眾所周知的黎曼(Riemann)猜想就是一例，它不僅是數(shù)論而且也是數(shù)學(xué)中最重要的問(wèn)題，這是因?yàn)楸姸嘤杏脝?wèn)題的解決需要依賴于黎曼猜想的解決。哥德巴赫（Goldbach）猜想與費(fèi)馬(Fermat)猜想也是非常重要的。

這兩個(gè)問(wèn)題本身都沒(méi)有什么意思，但對(duì)它們的研究導(dǎo)致了非常重要的數(shù)學(xué)發(fā)展。設(shè)想一下，如果這兩個(gè)問(wèn)題真的只從整數(shù)的定義出發(fā)，或僅用一、兩個(gè)特殊技巧即能證明，那么，它們恐怕最多只能算是漂亮的習(xí)題，會(huì)使數(shù)學(xué)家失望的。

費(fèi)馬猜想已由懷爾斯(Wiles)于上世紀(jì)末證明了。在其證明過(guò)程中，用到了模形式理論、橢圓曲線理論及伽羅華（Galois）表示理論等，換言之，這是集二十世紀(jì)數(shù)學(xué)理論大成的重大成就。

至于費(fèi)馬猜想的研究對(duì)代數(shù)數(shù)論的形成與發(fā)展所起的推動(dòng)作用都是眾所周知的。另外，還有一些古老的數(shù)論問(wèn)題，如梅森（Mersenne）素?cái)?shù)問(wèn)題，即形如

M _n= 2 ⁿ -1

的素?cái)?shù)是否有無(wú)窮多？或費(fèi)馬素?cái)?shù)問(wèn)題，即形如'

F_n= 2 ²+1

的素?cái)?shù)是否有無(wú)窮多？目前由計(jì)算機(jī)找到的特大素?cái)?shù)都是梅森素?cái)?shù)。無(wú)論如何，我認(rèn)為這類問(wèn)題雖然很有名，但它們與數(shù)學(xué)的主要工具與理論尚無(wú)關(guān)系，至少在現(xiàn)在只能看作是智力挑戰(zhàn)性質(zhì)的問(wèn)題，還不能作為重要的數(shù)論問(wèn)題。

二、哥德巴赫猜想與費(fèi)馬猜想

哥德巴赫猜想起源于1742年哥德巴赫給歐拉(Euler)的一封信。用略為修改過(guò)的語(yǔ)言，可以將它表述為：

（G） 每一個(gè) 6的偶數(shù)都是兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和；

（G' ）每一個(gè) 9的奇數(shù)都是三個(gè)奇素?cái)?shù)之和。

命題（G' ）是命題（G）的推論。

事實(shí)上，若m為>=9的奇數(shù)，則n-3為>=6的偶數(shù)，如果（G）成立，則n-3=p₁+p₂ ，此處p₁與p₂均為奇素?cái)?shù)，所以，

n=3+p₁+p₂ ，即（G' ）成立。因此，命題（G）是最根本的。

猜想（G' ）已由維諾格拉多夫（Vinogradov）于1937年基本上解決了，他證明了對(duì)于充分大的奇數(shù)，猜想（G' ）成立。

1900年，在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特(Hilbert)在他的著名演講中，首先闡明了一個(gè)好的數(shù)學(xué)問(wèn)題，作為數(shù)學(xué)研究的對(duì)象與源泉，對(duì)于推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展是何等重要！他特別地以費(fèi)馬猜想為例來(lái)加以說(shuō)明。為此，希爾伯特向二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家提出了二十三個(gè)問(wèn)題，歷史已經(jīng)充分證明了這些問(wèn)題的重要性。

希爾伯特高瞻遠(yuǎn)矚，預(yù)見(jiàn)到黎曼猜想與哥德巴赫猜想的重要性，將這兩個(gè)問(wèn)題合起來(lái)構(gòu)成了他的第八問(wèn)題。他還將后者推廣為兩個(gè)素?cái)?shù)變數(shù)的一次方程的求解問(wèn)題：命a , b, c為給定的整數(shù)，求方程

ap+bq=c

的素?cái)?shù)解p,q 。

取a=b=1 ，c為>= 6的偶數(shù)，即得哥德巴赫猜想（G） 。又若取a=1 ，b=-1 及c=2 ，則得，

（A₁ ）...............................................................p-q=2 ，

這對(duì)應(yīng)于數(shù)論中著名的孿生素?cái)?shù)猜想，即適合于（A₁ ）的素?cái)?shù)對(duì)（q，p ）有無(wú)窮多。再若取a=2，b=-1，c=-1 即得

（A₂ ）...............................................................q=2p+1，

問(wèn)題為要證明素?cái)?shù)對(duì)（p，2p+1）有無(wú)窮多。適合（A₂ ）的這種素?cái)?shù)q 稱為熱爾曼（Germain）素?cái)?shù)。

我們不妨將希爾伯特提升后的二元一次方程求素?cái)?shù)解的問(wèn)題統(tǒng)稱為哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想與費(fèi)馬猜想有什么關(guān)系呢？

當(dāng)n=4 時(shí)，費(fèi)馬猜想的證明可以由費(fèi)馬的所謂逐次遞降法直接得出。從而當(dāng)4| n即n=4m 時(shí)，費(fèi)馬方程

xⁿ+yⁿ-zⁿ=(x^m)⁴+(y^m)⁴-(z^m)⁴⁼⁰

沒(méi)有非尋常解，所謂尋常解為x,y,z 中有一個(gè)為零之解。因此，只要我們能證明，對(duì)于所有的奇素?cái)?shù)p ，費(fèi)馬方程
（1） xⁿ+yⁿ-zⁿ=0

沒(méi)有非尋常解即可。

若費(fèi)馬方程（1）有一個(gè)解 { x,y,z } 滿足p \  xyz，

則2 ^p-1≡1( mod p ²)。

這個(gè)要求甚嚴(yán)，熟知按照費(fèi)馬小定理，我們只能得到則2 ^p-1≡1( mod p)。

熱爾曼證明了下面的定理：

定理1. 若p為奇素?cái)?shù)，且2p+1=q 亦為素?cái)?shù)，則費(fèi)馬方程（1）沒(méi)有適合≠ \  xyz 的解。

證. 假設(shè)定理不真，即存在這樣的一個(gè)解{ x,y,z }  。我們可以假定x,y,z 的最大公因子(x，y，z=1) 。記
      （2）...............................................................-x ^p (x+y)(z^p -z^p-1-z^p-2y+....+ y ^p-1  )。

今往證明（2）之右端的兩個(gè)因子互素。事實(shí)上，p \  xyz ，否則，由（2）可知p |x ，這與假設(shè)p \  xyz相矛盾。又若r(≠p) 為一個(gè)素?cái)?shù)及r可以整除（2）之右端的兩個(gè)因子，則得r | x 與，

y≡ -z (mod r )。

0≡(-y)^p-1-(-y)^p-2(y)+....+(y)^p-1≡py^{p-1(mod r )}

后一個(gè)方程即r | py^p-1。由于r \ p，所以，r | y  。再由前一個(gè)方程得r | z ，因此，r | (x,y,z),即 r |1，矛盾。再由整數(shù)環(huán)Z中唯一因子分解定理，可得

（3）..............................................................y+z=A^p ，

（4）..............................................................z^p-1-z^p-2y+.....y^p-1=T^p ，

其中A與T為互素的整數(shù)。類似地，有
        （5）.............................................................. x+y=B^p ，
        （6）.............................................................. x+z=C^p 。

由于p=q-1/2 ，所以，將（1）式mod q 即得。

若x ^q-1/2 +y^q-1/2 +z ^q-1/2 ≡0 ( mod q )，

由費(fèi)馬小定理知，x^q-1 ≡1(mod q)，從而x ^q-1/2≡+ 1( mod q )，等等。所以，q |   xyz 時(shí)，上式左端每一項(xiàng)皆≡+ 1(mod q) 。由于q>5 ，可知這是不能的。從而，q | xyz 。由對(duì)稱性，我們不妨假定q | x 。由(3)，(5)，(6)可知

B^p+C^p-A^p = 2x+(y+z)-(y+z)=2x 。

所以，

（7） B^q-1/2+C^q-1/2-A^q-1/2 ≡0 (mod q)

同樣，q |   ABC  是不可能的，所以，q  | ABC。由于q | x，不能得到q | BC。否則，例如q | B ，則由（5）可知q | y，再由（1）得q | z，即得(x,y,z) ≥q，矛盾。因此，

q | A,  q / B , q / C    。

由(3)可知，y=-z(mod q)

再由(4)知，T^p=py^p-1(mod q)

又由（5）可知 y≡ B^p(mod q)。

由于(A,T) =1，所以q  / T   ，因此，

T ^q-1/2≡pB^q-1/2Xp-1(mod q)。

即  +1≡ p (mod q)，

X^p+Y^p+Z^p = 0

 沒(méi)有適合q  /  xyz  的解，這無(wú)疑是關(guān)于費(fèi)馬猜想的重要結(jié)果。我們似乎可以將此看作是哥德巴赫猜想（希爾伯特第八問(wèn)題）比費(fèi)馬猜想更深刻的一個(gè)說(shuō)明。