1929年楊武之受聘到清華大學數學系執教。1931年華羅庚來清華大學數學系先任圖書管理員、后任助理員，邊工作，邊學習。系里的華羅庚與柯召對數論比較感興趣，楊武之就指導他們進行數論研究。

1936年，華羅庚與柯召去英國，分別進入了劍橋大學和曼徹斯特大學，師從哈代(G.H.Hardy)與莫德爾（L.J.Mordell)研究數論。

華羅庚在去英國前，就已經開始研究當時的主流數論，即哈代-李特伍德-拉馬努金圓法與維諾格拉朵夫指數與估計方法方面的工作，這使他掌握了數論的制高點，所以他的數論工作，無論是在廣度與深度上，在中國都是最為突出的，他的數論工作在解析數論中有著持久的影響力，同時也受到國際同行的尊敬。另外華羅庚廣招學生，撰寫“數論導引”等入門書，所以在中國的數論發展中，他起到了領軍的作用。解放后，華羅庚、閔嗣鶴在這一研究上奠定了基礎。

華羅庚到劍橋大學世界數論研究中心學習進修

1936年，在著名數學家維納推薦下華羅庚以訪問學者身份去英國劍橋大學進修。那里有著名解析數論專家哈代，還有其他的數論專家。他在劍橋大學聽了許多課，參加討論班，得到著名學家哈代等人的指導。而華羅庚的刻苦努力以及取得的發表的文章也得到大家的贊許與認可。40年代他本人在美國作過不少杰出的數論工作。他終于登上了數學研究的世界舞臺。

在云南聯大開設初等數論的課程

華先生很重視做學問需要有“看家工夫”。所謂看家工夫指的是作科研時必不可少的最基本而有用的本事。據他的學生回憶，說華羅庚在青年時期閱讀蘭道（E.Landau）的《數論教程》三大卷時候，共作了6大本筆記，可見他下的功夫之深。而這本《數論教程》使他獲得了從事數學研究的分析功底。

據華羅庚的學生徐利志回憶，1940年華羅庚在云南聯大開設過“初等數論”的課，他選修了這門課。華先生講課姿態很靈活，喜歡在黑板前面走來走去，邊走邊講。他在黑板上寫字不多，只寫出那些最必要的算式，而很注重講問題的來龍去脈和論證思想，有時也穿插講點小故事。所以聽他講課我感到是一種愉快的享受。

1941年華羅庚完成了數論巨著《堆壘素數論》

1941年，華羅庚曾把手稿寄給蘇聯的維諾格拉多夫，維諾格拉多夫立即以電報回復：“我們收到了你的優秀專著，待戰爭結束后，立即付印。”因此，這本書最早是1947年以蘇聯科學院“斯捷克洛夫數學研究所”第22號專著出版的。中國數學界對華羅庚的專著給予崇高的評價。而當時的教育部幾乎無人能夠評審此書。老一輩數學家何魯冒著灼人的炎熱，曾在重慶的一幢小樓上揮汗審勘，閱稿時不時地擊案叫絕，一再對人說：“此天才也！”他愛不釋手，居然親筆將《堆壘素數論》抄了一遍，何氏的手抄本曾存于中國科學院數學研究所圖書館中，不幸在“文革”劫難中散失。華羅庚的《推壘素數論》榮獲教育部的一等獎。

據報載，華羅庚在西南聯大曾講授過他的《堆壘素數論》，開始慕名而來的學生將教室擠得水泄不通，后來一天天減少，減到4個，一星期后，只剩下2個，即后來成為著名數學家的閔嗣鶴和鐘開萊。教室里只剩下師徒三人，因昆明天天空襲不絕，華羅庚干脆把教室搬到華家附近，租屋而居，進行講授。華氏的這本書實在是太深了。

1946年華羅庚接受了訪問蘇聯的邀請，在這幾個月里，他與維諾格拉朵一起進行研究，并取得了很大的成果。他們對三角和方法的發展改變了解析數論的中心主題。1946年，華羅庚赴美國訪問，先在普林斯頓高等研究所搞研究并講授數論，1948年轉入依利諾大學，也對維諾格拉朵的中值公式做了重要的簡化、改進與應用。

1952年組織“數論”與“哥德巴赫猜想”兩個討論班

1953年冬中國科學院數學研究所數論組成立后，華羅庚親自組織并領導了兩個討論班，一個是“數論導引”，一個是“哥德巴赫猜想”討論班，每周一次，這兩個討論班一直堅持到了1956年。

雖然數學研究所成立時還沒有圖書館，但是華羅庚從美國帶回不會少書，雜志與單印本，數學所的人可以去自由借閱，只要在他辦公室的小本上簽個名就行了。這對數論組的人來說就更占便宜了。因為華羅庚的大部分書是跟數論有直接或間接的關系的。特別他有一個《解析數論》未發表的部分手稿，其中賽爾貝格的方法和素數定理初等證明的最新成果等。當時能夠讀到這些東西，在全世界來說都是相當早的。 

按照華羅庚計劃與安排，哥德巴赫猜想討論班分為四個單元來進行：

1、史尼爾曼密率，曼恩定理與賽爾貝格方法。

2、布倫篩法、布赫夕踏布方法。

3、林尼克大篩法，瑞尼定理。

4、素變數的三角和的估計方法、西革爾定理、維諾格拉朵三素數定理。

華羅庚計劃在討論班進行完了之后，將這四個方面的材料寫成綜合性論文，在數學所的數學進展上發表。那時在世界上的數論著作中，還只有包含了這四個方面成就的某些著作，所以這確實是一個頗吸引人的計劃。 

討論班是由一個人主講，華羅庚等則不停地提問題，務必使得每一個點都完全弄清楚為止。華羅庚這種打破沙鍋問到底的搞法，常常使主講人講不下去，長時間在講臺上思考，這叫做“掛黑板”。有些報告材料往往在討論班上就得到了簡化，所以討論班進行得很慢，但參加者得益很大。這是培養人才的好形式。既可以集思廣益，又可以活躍學術空氣。當時，他經常參加討論班，經常不斷地提出問題和疑點，把大家的思想推向一個更為積極、活躍的境界。 哥德巴赫猜想討論班的計劃并沒有完成，只進行了一、二、四單元，就因“反右斗爭”的到來而中斷了。

華羅庚選擇“哥德巴赫猜想”作為數論組討論班的主題是很有眼光的。十幾年后，華羅庚回憶他的這個決定時仍然流露出滿意的神情。他說：“我不是要你們在這個問題上作出成果來，我的著眼點是哥德巴赫猜想跟解析數論中所有的重要方法都有聯系。以哥德巴赫猜想為主題來學習，將可以學到解析數論中所有的重要的方法。”，他說“ 哥德巴赫猜想真是美極了，現在還沒有一個方法可以解決它。”他還指出：“你們弄懂了解析數論，再學一點代數數論，就可以將解析數論的結果推廣到代數數域上去。關于代數數論，除了《數論導引》的第十六章外，再學兩條定理，狄里赫雷定理與戴德金定理就可以邊學習邊工作了。”

華羅庚教授組織研究“哥德巴赫猜想”這個難題，是非常具有長遠的戰略眼光的，它也帶動解析數論的研究，不僅推動了數學的發展，同時在國內也培養中國的數論研究人才。之后這個討論班的三個成員都在數論研究中作出了重要的貢獻與《哥德巴赫猜想》的研究也取得了重要的進展。

從1954年開始，閔嗣鶴在北大開設了“數論專門化”，共有四個學生。他開這門數論課，指導他們做畢業論文，引導他們從事解析數論的研究。閔嗣鶴鼓勵他的學生多與數學所的數論組的人交流，多向華羅庚學習。數學所數論組的年青人也常向閔嗣鶴老師請教，彼此間的關系很密切。北大數論專門化的學生潘成洞、尹文霖與邵品琮也來數學所參加過哥德巴赫猜想討論班。 

1957年，華羅庚的《數論導引》出版，書中包括了不少未發表的結果及關于三角和、丟番圖方程、模變換及華林與他利問題的基本材料。

后來華羅庚發現了陳景潤，并將其調入數學所。陳景潤經過多年的努力，最后終于證明了1+2，取得了世界上關于證明哥德巴赫猜想的最好成果。 

吳文俊曾說過：“陳景潤同志本來是一個無名小卒，華羅庚同志知道了他的某些工作，就把他引到數學所來。在數學所這樣一個環境里，在華羅庚先生親自指導之下，陳景潤同志做出了許多重要的工作。其中最突出的就是大家都知道的，所謂哥德巴赫猜想（1+2）的證明。這出現于1965年。我相信如果當年陳景潤同志沒有被華羅庚同志引到數學所來，他的成長奇跡是不可能的。

1962年華羅庚科大開設數論與代數專業培養后備人才

華羅庚的學生馮克勤教授回憶說，1962年華羅庚想在我們年級開設數論與代數專業，由于我從中學就喜歡數論，就報了名，于是包括我在內的15位學生從四年級起進入該專業，由華羅庚親自講授“典型群”，王元講“數論導引”，萬哲先和曾肯成講“抽象代數”，吳方講解析數論，這集中了當時國內最強大的數論和代數教師陣營。大學五年級，吳方指導我作了一篇論文，內容是把當時陳景潤關于圓內整點問題余項估計的最新成果作到橢圓上去，這是我所寫的第一篇論文。

華羅庚1963年來科大任副校長，并把他在科學院數學所的研究生帶到科大，連王元的關系也臨時轉到科大，準備以科大為基地集中力量培養學生從事科學研究。他給我的任務是學習代數數論，這是20世紀40年代他在美國做教授的一個數論研究領域，回國后，組織了解析數論的隊伍，但由于種種原因，代數數論的研究未能充分開展。此外，華羅庚和王元這時也正把數論用于積分近似計算，其中也用到代數數論工具，所以他這時希望在科大的三屆共十一位研究生中有人能研究代數數論。這是一個用代數方法研究數論的一門學問，很合我的胃口。

中國的數論研究取得了豐碩的成果

1973年，陳景潤關于哥德巴赫猜想的著名論文發表后，潘承洞又開始了解析數學論研究。這一時期工作的代表性論文是“一個新的均值定理及其應用”。他的主要貢獻是提出并證明了一類新的素數分布的均值定理，給出了這一定理對包括哥德巴赫猜想在內的許多著名數論問題的重要應用。

1979年7月，在英國達勒姆舉行的國際解析數論會議上，潘承洞應邀以此作了一小時的報告，受到華羅庚和與會者的高度評價。1982年，潘承洞發表了論文“研究哥德巴赫猜想的一個新嘗試”，提出了與已有研究截然不同的方法，對哥德巴赫猜想作了有益的探索。在1988到1990年間，華羅庚與潘承彪以“小區間上的素變數三角和估計”為題發表了三篇論文，提出了用純分析方法估計小區間上的素變數三角和，第一次嚴格地證明了小區間上的三素數定理，這是他對論文“堆壘素數論的一些新結果”的進一步完善和改進。

華羅庚與他的學生在數論方面的工作展示中國數學家在數論方面具有的很高的水平與才華，被世界數學界稱為“以華為首的中國學派”，這是中國數學家研究團體在世界數學發展的過程中第一次得到的肯定與贊揚。而這個結果是數學家們通過幾十年的努力才獲得的。

華羅庚系統地研究了華林問題——哥德巴赫問題。在19世紀40年代，懂得堆壘素數論的圓法與維諾格拉朵夫的兩個指數和估計方法的人還很少。華羅庚撰寫的專著《堆壘素數論》，包含了數論領域所有重要的研究成果，其中有華羅庚用一個很優美的方法證明了一般三角和定理。這本書不僅結果是當時最新的，而且寫得十分通俗易懂，除了西革爾關于 L- 函數的實零點估計外，所有定理都給出了證明，所以該書是自給自足的，是一本很好的數論專著。就像哈貝斯坦在悼念華羅庚時說的：“幾代數論學家都從華羅庚的至今仍有影響的1947年的專著《堆壘素數論》中學到了圓法的知識。”

華羅庚在1958年改進與簡化了維諾格拉朵夫關于魏爾（H.Weyl）和的估計，華羅庚關于華林問題研究成果與“華氏不等式”等都是數論十分重要的成果，被很多人引用。

華羅庚的學生王元在1956年先證明了（3+4），在1957年又證明了（3+3），（2+3）。1962年潘承洞證明了（1+5），之后潘承洞與王元又合作證明了（1+4）。1966年，陳景潤運用龐比尼中值公式，非常出色地證明了（1+2）。

中國數學家在探索哥德巴赫猜想過程中，取得了重要的進展，但是最后誰能摘下這個明珠，攻克這個世界難題，會不會是中國人？這些仍舊還是未知的謎，等待有人來回答。