１９１４年，楊武之在安徽省立第二中學畢業。這是一所很好的學校，為楊武之打下了良好的文化基礎。是年秋，考入北京高等師范學校預科，為期一年，后入數理部本科。規定修業３年，于１９１８年畢業。這一學歷，在當時的師范教育中屬于最高的層次，各地爭相聘用。最后，楊武之決心回到母校——安徽省立二中擔任教員兼舍監（訓育主任）。年少氣盛的楊武之，在學校里施行嚴格的紀律，對一批紈绔子弟嚴加管束。學校規定，夜晚１０時，關閉校門，使一批在外尋歡作樂而遲歸的學生，不得其門而入。由此，一些不思上進的學生，對舍監楊武之大為不滿，以至尋釁鬧事，準備動武報復。鬧事之后，因學生家長袒護鬧事學生，希圖不了了之。楊武之遂憤而辭職，轉往安慶中學教書。這一事件對他刺激頗深，覺得一介書生，難以和腐敗的政府及土豪劣紳相周旋。

楊武之因此萌生“科學救國”的意念，希望以出國留學，振興中華科學，發揚中華文明來改變中國的黑暗現實。在安慶教書期間，積極準備參加留學考試。
　　楊武之由父母作主，在幼年時即和同鄉羅竹全之女羅孟華訂親，并于１９１９年完婚。羅孟華的文化不高，一直操持家務。他們夫婦之間感情甚篤，終身不渝。１９２２年，長子楊振寧出生。楊武之的備考也到了緊張階段。

１９２３年春，楊武之順利地通過安徽省的公費出國留學考試。隨即離別妻子和未滿周歲的兒子，只身赴美國留學。他先到美國西部的斯坦福大學讀了三個學季的大學課程，取得學士學位。然后于１９２４年秋天轉往芝加哥大學繼續攻讀。當時的芝加哥大學數學系已臻美國第一流水平，楊武之師從名家Ｌ．Ｅ．迪克森（Ｄｉｃｋｓｏｎ），研究代數學和數論。１９２６年以《雙線性型的不變量》一文獲得碩士學位。兩年之后，又以《華林問題的各種推廣》，使楊武之成為中國因數論研究而成為博士的第一人。

１９２８年秋，楊武之學成歸國，先在廈門大學任教一年，次年即被清華大學聘為數學系教授。此后，楊武之一直在清華大學（包括抗戰時期的西南聯合大學）任教，直到解放。１９５０年之后，留在上海復旦大學任數學教授。１９７３年５月１２日，在上海逝世。

博士論文：推進“棱錐數的華林問題”
　　楊武之的主要學術貢獻是數論研究，尤其以華林（Ｗａｒｉｎｇ）問題的工作著稱。
　　中國的數論研究淵遠流長。孫子定理，中國剩余定理，秦九韶的不定方程理論，都是享譽世界的名篇。但到明清之際，數論研究已遠遠落后于歐洲，到本世紀２０年代，能研究現代的數論而發表創造性論文的中國人，當以楊武之為第一人。
　　所謂華林問題，是指下列猜想：每個正整數都是４個平方數之和，９個立方數之和，一般地，ｇ（ｋ）個ｋ次方數之和。

１７７０年，Ｊ．－Ｌ．拉格朗日（Ｌａｇｒａｎｇｅ）證明了每個正整數確實是４個平方數之和，即ｇ（２）＝４。

１９０９年，大數學家Ｄ．希爾伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ）證明：ｇ（ｋ）必是有限數。

１９２８年，楊武之的導師狄克遜證得：ｇ（３）＝９。另外，Ｓ．Ｗ．貝爾（Ｂａｅｒ）證明，凡大于２３×１０１４的整數是８個立方數之和。于是狄克遜要楊武之考慮帶系數的華林問題，即每個正整數ｆ可否表示為ｆ＝ｒｘ３十Ｃ７，其中Ｃ７＝ｘ３１十ｘ３２十…十ｘ３７，ｒ＝０，１，２，…，８．楊武之很快得到下述結果：
　　１．凡是大于１４．１×４０１６的正整數都可表示為ｒｘ３十Ｃ７，其中ｒ＝５，７。
　　２．凡大于（３０．１）×４１９６的正整數都可表示為３ｘ３十Ｃ７。
        ３．凡大于２３×１０１４的正整數都可表為８×ｃ３十Ｃ７。
　　４．凡大于２３×１０１４的奇正整數都可表示為ｒx３十Ｃ７，其中ｒ＝２，４，６。
　　５．凡大于２３×１０１４的奇正整數的兩倍，都可表為２ｘ３十７。
　　楊武之的博士論文還討論了帶系數的７次方數的表示等問題。
　　楊武之最好的工作是關于棱錐數的華林問題。棱錐數ｐ（ｎ）＝１／６（ｎ３－ｎ）是三角形數ｆ（ｎ）＝ｎ／２（ｎ十１）的推廣。１６４０年，費馬猜測每個正整數都是不超過３個三角形數之和。后來證明這是對的。至于每個正整數能表示為幾個棱錐數之和，也陸續有人研究。

１８９６年，Ｗ．Ｊ．馬耶（Ｍａｉｌｌｅｔ）首先得到，每個充分大的正整數是１２個棱錐數之和。

１９２８年，楊武之在博士論文里證明：每個正整數都可寫成９個棱錐數之和。此結果在２０余年內沒有改進，直至Ｇ．Ｎ．沃森（Ｗａｔｓｏｎ）在１９５２年將“９個”減為“８個”。到１９９１年為止，這仍是已證明了的最好結果。

電子計算機出現之后，許多人曾作過實際驗算，認為除２４１個例外數之外，小于１０６的正整數都是５個棱錐數之和。１９９１年，楊振寧和鄧越凡等人的計算表明，凡小于１０９的正整數，除了１７，２７，…，３４３８６７等２４１個例外數之外，都是４個棱錐數之和。他們猜想，除這２４１個數之外，表示任何正整數，只要４個棱錐數就夠了。
　　楊武之的這篇博士論文，首先在美國數學會的會議上作了介紹（１９２８年４月６日）。同年美國數學會通報第３４卷，第４１２頁上曾對此作了報道。以后全文發表于１９３１年的《清華理科報告》。

大學數學教育的先驅
　　楊武之一生從事數學教育，特別是在清華大學和西南聯合大學執教并主持系務時期，培養和造就了兩代數學人才，對中國現代數學的貢獻很大。

１９２８年，清華留美預備學校改制為清華大學。鄭之蕃、熊慶來先期來清華大學任教。１９２８年和１９２９年，孫光遠與楊武之亦先后到校。這４位教授，加上唐培經、周鴻經兩位教員，陣容極一時之盛。１９３０年，陳省身跟孫光遠學幾何。
次年，華羅庚又來校跟楊武之研習數論。隨后的學生又有許寶騄、柯召等人的到來。３０年代的上半期，清華大學已成為國內最強的數學中心。
　　楊武之在清華大學講授過很多代數課程，特別是３０年代初開設的群論課，影響了大批的后學者。
　　抗戰以后，清華大學與北京大學、南開大學并為西南聯合大學。楊武之又擔任數學系的系主任，以及清華大學數學研究生部的主任。戰時的生活十分艱苦，但是西南聯合大學數學系的學術生活并不貧乏，科學水平節節上升，這和楊武之的組織與領導是分不開的。

楊武之與華羅庚

華羅庚自學成才，踏進清華園的傳奇故事已是盡人皆知，但是究竟清華園內的數學圈內怎樣發現華羅庚的細節，現在已很難查考。應該說，唐培經、楊武之，熊慶來等先生都為華羅庚來清華大學作出過努力，而系主任熊慶來的支持，則是關鍵的一著。
　　華羅庚來到清華大學以后，選擇數論為研究方向，而且集中研究華林問題，顯然是受到楊武之的直接影響。華羅庚在1980年寫給香港《廣角鏡》周刊的一封信說：“引我走上數論道路的是楊武之教授。”

華羅庚于１９３６年赴英國，追隨Ｇ．Ｈ．哈代（Ｈａｒｄｙ）學習解析數論，成績卓著。楊武之為自己的學生超過自己而高興非凡。１９３８年華羅庚回國后到西南聯合大學任教。當時擔任系主任的楊武之，不顧學校里的各種反對意見，向校方提出破格提升華羅庚的職務，即越過講師、副教授直升正教授。

起初校方以華羅庚未在英國拿博士學位而拒絕，后經楊武之力爭，最終才得到同意。所以，華羅庚在上述給《廣角鏡》的信中也寫道：“從英國回國，未經講師、副教授，直接提我為正教授的又是楊武之教授。”

在西南聯合大學時期，楊武之和華羅庚曾同住于昆明西北郊的大塘子村。兩家過往很密。當年，華羅庚曾有一信給楊武之，內稱：“古人云：生我者父母，知我者鮑叔。我之鮑叔即楊師也。”

楊武之所師法的迪克森學派，在本世紀初的美國影響很大。后來由于英國、蘇聯等國的解析數論的興起而漸漸式微。所以，楊武之的數論研究雖曾起過啟蒙和推動的作用，可惜由于迪克森學派的衰落而未能發揮重大影響。

中國數論學派，在華羅庚的領導下，獲得了重大的發展。飲水思源，人們將會緬懷楊武之在早期所發揮的前驅作用。