這種縮小包圍圈的辦法很管用，于是從（9十9）開始，全世界的數學家集中力量“縮小包圍圈”，逐步減少每個數里所含質數因子的個數，直到最后（1+1）為止。用這樣方法來證明“哥德巴赫猜想”確實取得了一系列重要的進展：

1920年，挪威數學家布朗（Brun）用古老的篩選法證明了（9＋9）；

1924年德國數學家拉德馬赫（Rademacher）證明了（7+7）；

1932年英國數學家埃斯特曼（Estermann）證明了（6＋6）；

1932年，意大利的蕾西（Ricei）先后證明了（5+7）, （4+9）, （3+15）和（2+366）； 

1938年，蘇聯數學家維諾格拉朵夫證明了充分大的奇數可以表示為3個奇質數之和，這使歐拉設想中的奇數部分有了結論，剩下的只有偶數部分的命題了。 

1938年，蘇聯數學家布赫斯塔勃證明了（５＋５），２年后又證明了（４＋４）。

       1938年，我國數學家華羅庚證明了所有偶數都可以表示為一個質數和另一個質數的方冪之和；

1940年他又證明了（4＋4）；

1956年，蘇聯數學家維諾格拉朵夫證明了（5+5），（4+4），（3+3）；

1956年，我國數學家王元證明了“3+4”；

1957年，我國數學家王元證明了“3+3”和“2+3”； 

而在1948年，匈牙利數學家蘭恩易(Renyi)另外設置了一個包圍圈。他開辟了另一條途徑。他想要證明：每個大偶數都是一個素數和一個“素因子都不超過六個的”數之和。他果然證明了（1＋6）。

但是，以后又是十年沒有進展。

1962年，我國數學家潘承洞與蘇聯數學家巴爾巴恩(BapoaH)各自獨立證明了（1＋5）；

1963年，又前進了一步，潘承洞與王元合作證明，蘇聯數學家巴爾巴恩獨立證明了（1＋4）。

1965年，布赫斯塔勃、維諾格拉多夫和數學家龐皮艾黎邦別里等三人差不多同時都證明了（1＋3）。

“包圍圈”越來越小，越來越接近終極目標（１＋１）。

維諾格拉多夫(1937年)，無條件地證明了奇數哥德巴赫猜想，即每個充分大的奇數都是三個奇素數之和。

　　布朗(挪威1919年)證明了:每個大偶數都是兩個素因子個數均不超過9的整數之和(記為9 + 9，記號k + l表示大偶數分解為不超過k個奇素數的積與不超過l個奇素數的積之和 ，下同)

布赫夕塔布的4 + 4(1940)，瑞尼的l+c (c為一不確定大數)(1948)和庫恩的a+b (a+b≤6)(1954);　　

1966年我國數學家陳景潤在對篩選法進行了重要改進之后，終于證明了（1+2）。也就是：“任何一個充分大的偶數，都可以表示成兩個數之和，而這兩個數中的一個就是奇質數，另一個則是兩個奇質數的乘積�！�

1966年5月陳景潤在中國科學院的刊物《科學通報》第十七期上他對外正式宣布已經證明了（1＋2）。他的證明震驚中外，被譽為“推動了群山，”并被這個定理被世界數學界稱為“陳氏定理”。 (1973年發表詳細證明)

20世紀的數學家們研究哥德巴赫猜想所采用的主要方法，是圓法、篩法、密率法和指數和三角和法等高深的數學方法。

許多數學家，包括曾經做出過重要貢獻的數學家認為，要想證明（1＋1），必須通過創造新的數學方法，以往的路都是走不通的。

由于陳景潤的貢獻，人類距離哥德巴赫猜想的最后結果（1＋1）僅有一步之遙了。而這一步卻無比艱難。30多年過去了，哥德巴赫猜想的 證明仍未有重要的突破。

目前利用計算機能證明到10的14次方為止哥德巴赫猜想是成立的，而嚴格的數學論證則要求其對所有的數都有效。