1896年鮑爾所說(shuō)：“這門學(xué)科本身是一個(gè)特別引人、特別雅致的學(xué)科，但它的結(jié)論沒(méi)什么實(shí)際意義。”確實(shí)，如果按通常分法把數(shù)學(xué)分為“純粹”數(shù)學(xué)與“應(yīng)用”數(shù)學(xué)的話，數(shù)論或許是數(shù)學(xué)中所能達(dá)到的最純粹的了。

費(fèi)馬、歐拉、拉格朗日、勒讓達(dá)、高斯等都是出自數(shù)論內(nèi)在的趣味及其特有的美而研究的。

由于近代計(jì)算機(jī)科學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展，數(shù)論得到了廣泛的應(yīng)用。比如在計(jì)算方法、代數(shù)編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數(shù)論范圍內(nèi)的許多研究成果；數(shù)論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應(yīng)用。

丟番圖的墓志銘：請(qǐng)你告訴我，丟番圖壽數(shù)幾何？

他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是無(wú)憂無(wú)慮的少年。再過(guò)去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年之后兒子出生，不料兒子竟先其父四年而終，只活到父親一半的年齡。晚年喪子老人真可憐，悲痛之中渡過(guò)風(fēng)燭殘年。丟番圖壽數(shù)幾何？

數(shù)論分類

1、初等數(shù)論是數(shù)論中不求助于其他數(shù)學(xué)學(xué)科的幫助，只依靠初等的方法來(lái)研究整數(shù)性質(zhì)的分支。比如中國(guó)古代有名的“中國(guó)剩余定理”，就是初等數(shù)論中很重要的內(nèi)容。

2、解析數(shù)論是使用數(shù)學(xué)分析作為工具來(lái)解決數(shù)論問(wèn)題的分支。數(shù)學(xué)分析是以函數(shù)作為研究對(duì)象的、在極限概念的基礎(chǔ)上建立起來(lái)的數(shù)學(xué)學(xué)科。用數(shù)學(xué)分析來(lái)解決數(shù)論問(wèn)題是由歐拉奠基的，俄國(guó)數(shù)學(xué)家車比雪夫等也對(duì)它的發(fā)展做出過(guò)貢獻(xiàn)。解析數(shù)論是解決數(shù)論中艱深問(wèn)題的強(qiáng)有力的工具。

3、代數(shù)數(shù)論是把整數(shù)的概念推廣到代數(shù)整數(shù)的一個(gè)分支。數(shù)學(xué)家把整數(shù)概念推廣到一般代數(shù)數(shù)域上去，相應(yīng)地也建立了素整數(shù)、可除性等概念。

4、幾何數(shù)論是由德國(guó)數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家閔可夫斯基等人開(kāi)創(chuàng)和奠基的。幾何數(shù)論研究的基本對(duì)象是“空間格網(wǎng)”。

5、堆疊數(shù)論數(shù)論研究將整數(shù)表為某種整數(shù)之和的問(wèn)題 ，哥德巴赫猜想用算術(shù)推導(dǎo)方法來(lái)論證的數(shù)論命題的分支稱為初等數(shù)論，而解析數(shù)論則是把算術(shù)問(wèn)題化為分析問(wèn)題，然后用分析的成果與方法來(lái)處理，從而導(dǎo)出算術(shù)的結(jié)果。

一些研究數(shù)論的數(shù)學(xué)家

古希臘，畢達(dá)哥拉斯，歐幾里得，丟番圖

十七世紀(jì)：費(fèi)馬

十八世紀(jì)：歐拉，拉格朗日

十九世紀(jì)

代數(shù)數(shù)論：高斯，庫(kù)默爾

解析數(shù)論：黎曼，阿達(dá)瑪，瓦萊-普桑 ，塞爾伯格 ，愛(ài)爾特希

二十世紀(jì)：素?cái)?shù)判定，哥德巴赫猜想，費(fèi)馬大定理，黎曼假設(shè)

二十世紀(jì)三十年代：華羅庚、閔嗣鶴、柯召

數(shù)論的應(yīng)用

費(fèi)馬大定理已被解決，經(jīng)過(guò)許多數(shù)學(xué)家的努力，包括歐拉、勒讓德、費(fèi)雷、維爾斯等

哥德巴赫猜想還沒(méi)解決，盡管陳景潤(rùn)已證明了1+1=2。

數(shù)論仍在不斷的發(fā)展中，數(shù)論是既簡(jiǎn)單的，又復(fù)雜的，他的魅力就在不斷的探索中展示出來(lái)。

大素?cái)?shù)分解問(wèn)題已與密碼破譯緊密聯(lián)系在一起了。

解析數(shù)論起源于素?cái)?shù)分布、哥德巴赫猜想、華林問(wèn)題以及格點(diǎn)問(wèn)題的研究。

解析數(shù)論的方法主要有復(fù)變積分法、圓法、篩法、指數(shù)和方法、特征和方法、密率等。模形式論與解析數(shù)論有密切關(guān)系。