1736年的克里斯蒂安•哥德巴赫的一封來信，引起了歐拉對數論的極大的興趣 。此前歐拉與哥德巴赫一直保持著很好的關系，他們之間有多年密切的通信聯系。最初哥德巴赫告訴歐拉許多有關費馬未證明的猜想，并引起了歐拉的注意。哥德巴赫被數論問題深深地吸引住了，但是，他的熱情遠遠超過了他的才能。開始，歐拉似乎無意研究這些問題，但是，由于他自己無止境的好奇心和哥德巴赫的堅持，歐拉終于涉足其間。不久，他就被數論，特別是被費馬一系列未證明的猜想深深地迷住了。

正如現代作家兼數學家安德烈•韋爾所述，“……在歐拉（有關數論）的著作中，有相當一部分旨在證明費馬的猜想�！痹诖酥�前，歐拉的數論著作在他的《全集》中已占了整整四大卷。人們認為，在他的科學生涯中，即使沒有其他成就，這四卷著作也足以使他躋身于歷史上最偉大的數學家之列。

歐拉對數論的貢獻

例如，費馬曾推測，某些素數可以寫成兩個完全平方數之和，歐拉對此作出了證明。顯然，除2以外，其它所有素數都是奇數。當然，如果我們用4去除一個大于4的奇數，我們一定會得到余數1或3（因為4的倍數或4的倍數加2是偶數）。我們可以更簡明地說，如果p＞2是素數，那么，或則p=4k＋1，或則p=4k＋3（k是整數）。

1640年，費馬曾猜想，第一種形式的素數（即4的倍數加1）可以并且只能以一種方式寫成兩個完全平方數之和的形式，而形如4k＋3的素數則無論以什么方式都不能寫成兩個完全平方數之和。

這是一個獨特的定理。例如，素數193=（4×48）＋1可以以一種唯一方式寫成兩個平方數之和。對本例，我們可以很容易地證明，193=144+49=122＋72，而其他任何形式的平方和都不能等于193。另一方面，素數199=（4×49）+3絕對無法寫成兩個平方數之和的形式，這同樣可以通過列出所有可能的形式來證明其不可能性。因此，我們在這兩種形式的（奇）素數之間，就其表達為兩個平方之和而言，發現了根本的差別。這是一個無法預料或憑直覺預測的性質。

但歐拉在1747年對此作出了證明。

歐拉對所有偶完全數的問題也現出了極大興趣，同時也顯示他是一個真正的數論天才。還有他關于親和數這個問題的研究。親和數是一對具有下列性質的數字：一個數字的所有因數之和恰好等于第二個數字，而第二個數字所有因數之和也同樣等于第一個數字。親和數早在古代就引起了數學家的興趣，他們認為親和數具有神秘的“超數學”色彩。即使在現代，親和數也因其獨特的互逆性質游弋在數字學的偽科學中。

古希臘人已知道數字220和284是親和數。即，220的所有因數是1、2、4、5、10、11、20、22、44、55和110，這些因數加起來恰好等于284；同樣，284的所有因數是1、2、4、71和142，它們加起來等于220。但遺憾的是，當時的數字學家們還不知道有其他的親和數，直至1636年，費馬才證明出17，296和18，416構成了第二對親和數。（實際上，這對親和數早已為阿拉伯數學家班納（1256—1321年）所發現，比費馬早300多年，但是，在費馬時代，西方人還不知道這一對親和數的存在。） 1638年，笛卡兒或許是為了與費馬爭勝，驕傲地宣布他發現了第三對親和數：9，363，584和9，437，056。

在歐拉開始研究這個問題之前的一百年間，親和數的研究一直停滯不前。1747年至1750年期間，歐拉發現了122，265和139，815以及其他57對親和數，這樣，他獨自一人就使世界已知親和數增加了近20倍！歐拉之所以能夠取得這樣的成果，是因為他找到了生成親和數的方法，并用這種方法生成了親和數。

至此，我們可以就我們對歐拉數論的簡要評述作一個總結。如前所述，本章的這些定理最直接地表明了歐拉在數論領域的巨大影響。誠然，他是站在天才的前輩、特別是站在費馬的肩膀上。但是，歐拉的研究，不可估量地豐富了這一數學分支，并使他自己躋身于第一流的數論學家之列。