1742年哥德巴赫發現這樣一個事實：6＝3＋3，12＝5＋7，18＝11＋7，……等，于是他在1742年6月7日寫信給當時住在俄國彼得堡的大數學家歐拉。哥德巴赫在信中說：”我的問題是這樣的：隨便取某一個奇數，比如77，可以把它寫成三個素數之和：77=53+17+7；再任取一個奇數，比如461，461=449+7+5，也是三個素數之和，461還可以寫成257+199+5，仍然是三個素數之和。我發現：這樣任何大于5的奇數都是三個素數之和。但這怎樣證明呢？雖然做過的每一次試驗都得到了上述結果，但是不可能把所有的奇數都拿來檢驗，需要的是一般的證明，而不是個別的檢驗。”

這就是著名的哥德巴赫猜想（見本文后的復印件）。

當哥德巴赫把這個問題告訴給歐拉，并請歐拉告訴他應當怎樣作出證明。 歐拉看過信之后，認真地思考了這個問題。他首先逐個核對了一張長長的數字表： 

這張表可以無限延長，而每一次延長都使歐拉對肯定哥德巴赫的猜想增加了信心。同時他發現證明這個問題實際上應該分成兩部分，即證明所有大于2的偶數總能寫成2個質數之和，所有大于7的奇數總能寫成3個質數之和：

(a) 任何一個大于2的偶數，都可以表示成兩個素數之和；

(b) 任何一個大于7的奇數，都可以表示成三個素數之和。

歐拉確信這一結論是對的。在6月30日給哥德巴赫回信，他在信中說：“任何大于2的偶數都是兩個質數的和，雖然我還不能證明它，但我確信無疑這是完全正確的。”同時歐拉又提出了另一個命題：“任何一個大于2的偶數都是兩個素數之和”。但是這個命題他也沒能給予證明。不難看出，哥德巴赫的命題是歐拉命題的推論。事實上，任何一個大于5的奇數都可以寫成如下形式：2N+1=3+2(N-1)，其中2(N-1)≥4  。

若歐拉的命題成立，則偶數2(N-1)可以寫成兩個素數之和，于是奇數2N+1可以寫成三個素數之和，從而，對于大于5的奇數，哥德巴赫的猜想成立。但是哥德巴赫的命題成立并不能保證歐拉命題的成立。因而歐拉的命題比哥德巴赫的命題要求更高。現在通常把這兩個命題統稱為哥德巴赫猜想。

實際上第一個問題的正確解法可以推出第二個問題的正確解法，因為每個大于7的奇數顯然可以表示為一個大于4的偶數與3的和。1937年，蘇聯數學家維諾格拉多夫利用他獨創的“三角和”方法證明了每個充分大的奇數可以表示為3個奇質數之和，基本上解決了第二個問題。但是第一個問題至今仍未解決。由于問題實在太困難了，數學家們開始研究較弱的命題：每個充分大的偶數可以表示為質因數個數分別為m、n的兩個自然數之和，簡記為“m+n”。

歐拉從接到信后，就開始著手考慮如何證明，但是他用盡了各種辦法嘗試，直到離開人世，也沒有證明出來。之后，哥德巴赫帶著一生的遺憾也離開了人世，給后人留下了這道數學難題。

由于歐拉是頗負盛名的數學家、科學家，他對猜想的判斷與信心吸引著無數科學家試圖去證明它，但直到19世紀末也沒有取得任何進展。這一看似簡單，但實際是困難無比的數論問題長期困擾著數學家，因此有人把它比作“數學皇冠上的一顆明珠。”

敘述如此簡單的問題，連歐拉這樣首屈一指的數學家都不能證明，這個猜想便引起了許多數學家的注意。從哥德巴赫提出這個猜想至今，許多數學家都不斷努力想攻克它，但都沒有成功。

哥德巴赫猜想世界近代三大數學難題之一。