微積分的發現是人類精神的最高勝利

在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀下半葉微積分的發現那樣被看作人類精神的最高勝利了，如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績，那正是在這里。——恩格斯

微積分早期的思想基礎

在17世紀，兩位數學家伽利略和開普勒的一系列發現,導致了數學從古典數學向現代數學的轉折。

在25歲以前的伽利略就開始作了一系列實驗，發現了許多有關物體在地球引力場運動的基本事實，最基本的就是自由落體定律。 開普勒在1619年前后歸納為著名的行星運動三大定律。這些成就對后來的絕大部份的數學分支都產生了巨大影響。伽利略的發現導致了現代動力學的誕生，開普勒的發現則產生了現代天體力學。他們在創立這些學科的過程中都感到需要一種新的數學工具，這就是研究運動與變 化過程的微積分。

有趣的是，積分學的起源可追溯至古希臘時代，但直到17世紀微分學才出現重大突破。

積分思想的淵源

求積問題就是求圖形的面積、體積問題。該問題的歷史十分悠久，可以追溯到古代各個文明對一些簡單圖形進行的求面積和體積，比如求三角形、四邊形、圓或球、圓柱、圓錐等等的面積或體積，以及17世紀歐洲人對圓面積、球體積、曲邊三角形、曲邊四邊形等的面積的計算。這些問題直到牛頓和萊布尼茲建立微積分才從根本上得到了解決。求積問題是促使微積分產生的主要因素之一。

在積分思想發展的過程中，有一批偉大的數學家為此做出了杰出的貢獻。古希臘時代偉大的數學家、力學家阿基米德，我國古代著名數學家劉徽，祖沖之父子等為積分思想的形成和發展做出了重要的貢獻。

16，17世紀是微積分思想發展最為活躍的時期，其杰出的代表有意大利天文學家、力學家伽利
略和德國天文學家、數學家、物理學家開普勒，卡瓦列里等。他們的工作為牛頓、萊布尼茲創立微積分理論奠定了基礎。

微分學思想的起源

微分學主要來源于兩個問題的研究，一個是作曲線切線的問題，一個是求函數最大、最小值的問題。這兩個問題在古希臘曾經考慮過，但古希臘對這兩個問題的討論遠不及對面積、體積、弧長問題討論得那么廣泛和深入。

在這兩個問題的研究上作出先驅工作的是費馬。費馬在1629年給出了求函數極大、極小值的方法。不過這個思想直至八、九年后才較多地為人所知。

開普勒已經觀察到，一個函數的增量通常在函數的極大、極小值處變得無限地小。費馬利用這一
事實找到了求函數極大、極小值的方法。它的根是使函數取極小值的。費馬還創造了求曲線切線的方法。這些方法的實質都是求導數的方法。曲線的切線問題和函數的極大、極小值問題都是微分學的基本問題。正是這兩個問題的研究促進了微分學的誕生。費馬在這兩個問題上都作出了重要貢獻，被稱為微積分學的先驅。

費馬處理這兩個問題的方法是一致的，都是先取增量，而后讓增量趨]向于零。而這正是微分學的實質所在，也正是這種方法不同于古典方法的實質所在。

費馬還曾討論過曲線下面積的求法。這是積分學的前期工作。他把曲線下的面積分割為小的面積元素，利用矩形和曲線的解析方程，求出這些和的近似值，以及在元素個數無限增加，而每個元素面積無限小時,將表達式表示為和式極限的方式。但是，他沒有認識到所進行的運算本身的重要意義，而是將運算停留在求面積問題本身，只是回答一個具體的幾何問題。

只有牛頓和萊布尼茲才把這一問題上升到一般概念，認為這是一種不依賴于任何幾何的或物理的結構性運算，并給予特別的名稱－微積分。

在創立這些學科的過程中，他們都感到一種新的數學工具的需要，這就是研究運動與變化 過程的微積分。有趣的是，積分學的起源可追溯至古希臘時代，但直到17世紀微分學才出現重大突破。

費馬還創造了求曲線切線的方法。這些方法的實質都是求導數的方法。曲線的切線問題和函數的極大、極小值問題都是微分學的基本問題。正是這兩個問題的研究促進了微分學的誕生。費馬在這兩個問題上都作出了重要貢獻，被稱為微積分學的先驅。

費馬處理這兩個問題的方法是一致的，都是先取增量，而后讓增量趨向于零。而這正是微分學的實質所在，也正是這種方法不同于古典方法的實質所在。費馬還討論過曲線下面積的求法。這是積分學的前期工作。他把曲線下的面積分割為小的面積元素，利用矩形和曲線的解析方程，求出這些和的近似值，以及在元素個數無限增加，而每個元素面積無限小時,將表達式表示為和式極限的方式。但是，他沒有認識到所進行的運算本身的重要意義，而是將運算停留在求面積問題本身，只是回答一個具體的幾何問題。只有牛頓和萊布尼茲才把這一問題上升到一般概念，認為這是一種不依賴于任何幾何的或物理的結構性運算，并給予特別的名稱－微積分。

微積分的創立

十七世紀是從中世紀向新時代過渡的時期。這一時期，科學技術獲得了巨大的發展。精密科學從當時的生產與社會生活中獲得巨大動力；航海學引起了對天文學及光學的高度興趣；造船學，機器制造與建筑，堤壩及運河的修建，彈道學及一般的軍事問題等等，促進了力學的發展。

在這些學科的發展和實際生產中，迫切需要處理下面四類問題：

1. 已知物體運動的路程和時間的關系，求物體在任意時刻的速度和加速度。反過來已知物體的加速度與速度，求物體在任意時刻的速度與經過的路程。

計算平均速度可用運動的路程除以運動的時間，但是17世紀所涉及的速度和加速度每時每刻都在變化，對于瞬時速度，運動的距離和時間都是0，這就碰到了0/0的問題。人類第一次碰到這樣的問題 。 

2. 求曲線的切線。這是一個純幾何的問題，但對于科學應用具有重大意義。例如在光學中，透鏡的設計就用到曲線的切線和法線的知識。在運動學問題中也運到曲線的切線問題，運動物體在它的軌跡上任一點處的運動方向，是軌跡的切線方向。

3. 求函數的最大值和最小值問題。在彈道學中這涉及到炮彈的射程問題，在天文學中涉及到行星和太陽的最近和最遠距離。

4. 求積問題。求曲線的弧長，曲線所圍區域的面積，曲面所圍的體積，物體的重心。這些問題從古希臘開始研究，其中的某些計算，在現在看來只是微積分的簡單練習，而過去曾經使希臘人大為頭痛。事實上，阿基米德所寫的著作幾乎都是在討論這類問題，而他的結果就標志著希臘數學的高潮。

正是科學和生產中面臨的這些重要問題，促進了微積分的誕生與發展。

在微積分誕生和發展時期，一批偉大的數學家做出了杰出的貢獻，例如，數學家伽利略，開普勒，卡瓦列里，費馬，巴羅，牛頓，萊布尼茲等等。

科學的重大進展總是建立在許多人一點一滴工作之上，但是，常常需要有一個人完成“最后的一步”，這個人需要具有敏銳的洞察力，從紛亂的猜測和說明中整理出前人有價值的思想，需要有足夠想象力，把這些孤立的“碎片”組織起來，并且能夠大膽地制定一個宏偉的體系。在微積分誕生過程中，牛頓和萊布尼茲就是完成這一使命的巨人。

在微積分誕生之后的18世紀，數學迎來一次空前的繁榮，人們將這個時代稱為數學史上的英雄世紀。這個時期的數學家們的主要工作就是把微積分應用于天文學、力學、光學、熱學等各個領域，并獲得了豐碩的成果。

1661年，牛頓進入劍橋大學三一學院，受教于巴羅，同時鉆研伽利略、開普勒、笛卡兒和沃利斯等人的著作。三一學院至今還保存著牛頓的讀書筆記，從這些筆記可以看出，就數學思想的形成而言，笛卡兒的《幾何學》和沃利斯的《無窮算數》對他影響最深，正是這兩部著作引導牛頓走上了創立微積分的道路。

1665年8月回到了家鄉，在那里開始了他在機械、數學和光學上的偉大工作，這兩年成為牛頓科學生涯中的黃金歲月，創立了微積分，發現了萬有引力和顏色理論，……，可以說牛頓一生大多數科學創造的藍圖，都是在這兩年構思的。

微積分的創建

1664年秋，牛頓開始研究微積分問題。當時，他反復閱讀笛卡兒《幾何學》，對笛卡兒求切線的“圓法”產生了濃厚的興趣，并試圖尋找更好的方法。就在此時，牛頓首創了小o記號，用它表示x的增量，它是一個趨于零的無窮小量。

牛頓在家鄉躲避瘟疫期間，繼續探討微積分并取得了突破性進展。據他自述，1665年11月發明“正流數術”（微分法），次年5月又建立了“反流數術”（積分法）。1666年10月，牛頓將前兩年的研究成果整理成一篇總結性論文，現在稱為《流數簡論》。當時雖未正式發表，但在同事中傳閱。《流數簡論》是歷史上第一篇系統的微積分文獻。

《流數簡論》反映了牛頓微積分的運動學背景。該文事實上以速度形式引進了“流數”（即微商）的概念，雖然沒有使用“流數”這一基本術語，但在其中提出了微積分的基本問題，用現在的數學語言可以表述如下：

1）已知物體的路程，求物體運動速度的問題。

2）已知物體運動的速度，求物體路程的問題。

牛頓指出，第一個問題是微分的問題，第二個問題的第一個問題的逆運算，并給出了相應的計算方法。在此基礎上，建立了的“微積分基本定理”，它揭示了“導數和積分之間的內在聯系”。當然，對微積分基本定理，并沒有給出現代意義下的嚴格證明。在后來的著作中，對微積分基本定理，牛頓又給出了不依賴于運動學的較為清楚的證明。

在牛頓以前，面積總是被看成是無限小不可分量之和，牛頓則從確定面積變化率入手，通過反微分計算面積。這樣，牛頓不僅揭示了面積計算與求切線問題的互逆關系，并且十分明確地把它作為一般規律揭示出來，從而建立了微積分普遍算法的基礎。

正如牛頓本人在《流數簡論》中所說：一旦反微分問題可解，許多問題都將迎刃而解。

自古希臘以來，人們得到了許多求解無限小問題的各種特殊技巧，牛頓將這些特殊技巧統一為兩類普遍的算法——正、反流數術，即微分與積分，并證明了二者的互逆關系，進而，他將這兩類運算統一成一個整體——微積分基本定理。

這是他超越前人的功績，正是在這樣的意義下，我們說牛頓發明了微積分。在《流數簡論》的其余部分，牛頓討論了求曲線切線、曲率、拐點，求曲線長度、求曲線圍成的面積，求引力與引力中心等16類問題。對這些問題的討論，牛頓都是運用他建立的統一的算法來處理的，所有這些充分顯示了牛頓創建的“微積分”算法的極大普遍性與系統性。

從1667年起到1693年牛頓用了大約四分之一世紀的時間，從事微積分方面研究。牛頓始終不渝努力改進、完善自己的微積分學說，先后寫成了三篇微積分論文：
（1）1669年完成了《運用無限多項方程的分析》，簡稱《分析學》；
（2）1671年完成了《流數法與無窮級數》，簡稱《流數法》；
（3）1691年完成了《曲線求積術》，簡稱《求積術》。

牛頓對于發表自己的科學著作態度謹慎，他的大多數著作都是經朋友再三催促才拿出來發表。上述三篇論文發表都很晚，其中最先發表的是最后一篇《曲線求積術》；《分析學》發表于1771年；而《流數法》則遲至1736年才正式發表，當時牛頓已去世。

1687年，牛頓出版了他的力學名著《自然哲學的數學原理》，簡稱《原理》，在《原理》中，最早表述牛頓創立的微積分學說，因此，《原理》也成為數學史上的劃時代著作。

《自然哲學的數學原理》的扉頁

《原理》被愛因斯坦盛贊為“無比輝煌的演繹成就”。全書從三條基本的力學定律出發，運用微積分工具，嚴格地推導證明了包括開普勒行星運動三大定律、萬有引力定律等在內的一系列結論，并且還將微積分應用于流體運動、聲、光、潮汐、彗星乃至宇宙體系，充分顯示了這一數學工具的威力。

牛頓的科學貢獻是多方面的。在數學上，除了微積分，他的代數名著《普遍算術》，包含了方程論的許多成果，如虛數根成對出現、笛卡兒符號法則的推廣、根與系數的冪和公式等等；他的幾何杰作《三次曲線枚舉》，首創對三次曲線的分類研究，這是解析幾何發展一個新的高峰；在數值分析領域，今天任何一本教程都不能不提牛頓的名字。

牛頓的歷史功績

牛頓是一位科學巨人，是人類歷史上最偉大的數學家之一。與牛頓一樣，為數學做出杰出貢獻的數學家萊布尼茲評價道：“從世界開始到牛頓生活的年代的全部數學中，牛頓的工作超過了一半。”

萊布尼茲與微積分的誕生

1646年6月21日戈特弗里德·威廉·萊布尼茲出生在德國萊比錫。1661年他入萊比錫大學學習法律 ，又曾到耶拿大學學習幾何，1666年取得法學博士學位。1672年他出差到巴黎，受到C. 惠更斯的啟發 ，決心鉆研數學。在這之后，他邁入數學領域，開始創造性的工作。這種努力導致了許多數學的發現，最突出的是微積分學說。牛頓創立微積分主要是從運動學的觀點出發，而萊布尼茲則從幾何學的角度去考慮。

從1684年起，萊布尼茲發表了很多微積分論文。這一年，他的第一篇微分學文章《一種求極大值極小值和切線的新方法》發表，這是世界上最早公開發表的關于微分學的文獻。在這篇論文中，他簡明地解釋了他的微分學。文中給出微分的定義和基本的微分法則。

1686年他在《學藝》雜志上發表第一篇積分學論文。萊布尼茲精細設計了一套令人滿意的微積分符號。他在1675年引入了現代的積分符號∫，用拉丁字Summa（求和）的第一個字母S拉長了表示積分。但是“積分”的名稱出現得比較遲，它是由J. 伯努利于1696年提出的。

萊布尼茲是數學史上最偉大的符號學者。他在創造微積分的過程中，花了很多時間去選擇精巧的符號。他認識到，好的符號可以精確、深刻地表達概念、方法和邏輯關系。他曾說：“要發明就得挑選恰當的符號。要做到這一點，就要用含義簡明的少量符號來表達或比較忠實地描繪事物的內在的本質 ，從而最大限度地減少人的思維勞動。” 現在微積分學的符號基本都是由他創造的。這些優越的符號為以后分析學的發展帶來了極大的方便。

萊布尼茲發明了一些其他符號和數學名詞，例如“函數”（function）和“坐標”（coordinate）等。萊布尼茲多才多藝，在歷史上無人可以匹敵。