七十多年的誤解 

普萊梅依在1908年發表的論文《具有給定單值群的黎曼型》，對黎曼-希爾伯特問題做出了肯定回答。普萊梅依的途徑是化為積分方程來處理，借助于當時方興未艾的弗雷德霍姆(Fredholm)理論。1913年，美國數學家伯克霍夫(G. Birkhoff)又采用某種逼近方法獨立證明了普萊梅依的結果，并研究了他自己提出的一系列推廣性問題。1957年，羅爾利用向量叢概念，從代數幾何的觀點將普萊梅依的結果推廣到一般的黎曼曲面上去。研究黎曼-希爾伯特問題的代數幾何途徑在六、七十年代又被德利涅(P. Deligne)大大發展和完善了。

因此，長期以來，人們一直認為希爾伯特第21問題早已被解決了，答案是肯定的。然而，到了1980年代，柯恩(T. Kohn)、阿諾德(V.I. Arnold)等數學家開始發現并指出了普萊梅依的工作存在著缺陷。原來，普萊梅依定理涉及的實際上并不是真正的富克斯型方程組，而是比富克斯型范圍更寬的所謂“正則”(regular)型方程組。

姍姍來遲的否定解答

1989年，數學界傳來了一個意外的新聞：蘇聯數學家鮑里布魯克(A.A. Bolibruch)關于希爾伯特第21問題舉出了反例。這就是說，在普萊梅依的“肯定”結果發表七十多年以后，數學家們才看到在一般情形中希爾伯特第21問題的解答原來是否定的。

希爾伯特第21問題的解決是富有戲劇性的過程。數學是一門精密的科學，但數學家的推理也難保絕對不會出現疏漏，這種疏漏有時甚至能逃過最嚴格的審查。在這方面，希爾伯特第21問題也并非數學史上絕無僅有的例子。

著名的四色問題的研究，也發生過這樣的情況。1879年，英國《自然》（Nature）雜志宣布一位名叫肯泊(A.B. Kempe)的律師證明了四色問題。肯泊曾在劍橋大學學過數學，著名的數學家凱萊(A. Cayley)是他的老師。大概是出于凱萊的建議，肯泊將他證明四色問題的論文投給了由當時另一位大名鼎鼎的數學家西爾維斯特（J.J. Sylvester）任主編的《美國數學雜志》，并通過審查正式發表出來。但十一年以后，另一位英國學者希伍德(P.J. Heawood)卻提出了肯泊的證明有漏洞。當然，像普萊梅依關于黎曼-希爾伯特問題的結果，時隔七十余年才被看出破綻，時間之長，倒還是少見的。

另一方面，在數學研究中，概念與方法有時比最終結果更為重要。因此，有些數學結果盡管后來被指出有誤，但在解決問題過程中發展起來的概念與方法，卻依然能夠成為有價值的數學財富。如上述肯泊關于四色定理的證明雖有漏洞，但他所提出的所謂“肯泊鏈”的方法，卻一直在地圖著色問題的研究中扮演著重要角色。希爾伯特第21問題的研究，也提供了這樣的例證。普萊梅依的工作雖有缺陷，但對推動整個黎曼-希爾伯特問題的研究以及積分方程理論的發展，仍是功不可沒。