近日，在一項面向公眾的活動中，數論學家王元院士發表了題為《漫談哥德巴赫猜想》的演講，并向熱衷于證明這一猜想的數學愛好者提出建議和忠告。

王元表示，關于哥德巴赫猜想，報紙、電臺和電視上都介紹了很多。“但報紙上的宣傳也好，群眾的理解也好，都是不完整的，也是不科學的。”王元說。

他談到三個方面的問題：

一、什么是哥德巴赫猜想；

二、為什么哥德巴赫的證明如此重要；

三、目前最終證明哥德巴赫猜想的方法還沒有出來，勸大家還是把基礎打好，不要輕易去證明哥德巴赫猜想。

王元是我國早期從事哥德巴赫猜想證明的數學家之一，1952年從浙江大學數學系畢業，經陳建功與蘇步青推薦到中國科學院數學研究所工作，在華羅庚的指導下研究數論和哥德巴赫猜想。

據王元介紹，華羅庚早在20世紀30年代就開始研究哥德巴赫猜想，并得到了相當好的結果；1966年，陳景潤證明了“1＋2”是迄今為止世界上有關哥德巴赫猜想證明的最好成果。

什么是哥德巴赫猜想

1742年6月7日，德國數學家克里斯蒂安·哥德巴赫寫信給瑞士數學家萊昂哈德·歐拉，提出兩個猜想：

（1）任何一個大于2的偶數都可以表示為兩個素數之和；

（2）任何一個大于5的奇數是3個素數之和。

1742年6月30日，歐拉在給哥德巴赫的回信中明確表示，他深信哥德巴赫的這兩個猜想都是正確的定理，但他不能加以證明。

這就是著名的哥德巴赫猜想。

“容易證明（2）是（1）的推論，所以最重要的是（1），這是兩個素數，所以我們稱它為‘1＋1’，這個問題到現在也沒有解決。”王元說，“但是，現在很多人說解決了這個問題，來的信簡直堆積如山，有人搞得傾家蕩產，這是沒有必要的，因為這個問題還不到解決的時候。我勸大家不要做這個問題。”

哥德巴赫猜想的內容十分簡潔，但它的證明卻異乎尋常的困難。從哥德巴赫寫信之日起，直至1920年，并沒有一個方法可以用來證明這個問題。

1900年，在法國巴黎召開的第2屆國際數學大會上，德國數學家大衛·希爾伯特在他著名的演說中，為20世紀的數學家建議了23個問題，而哥德巴赫猜想（1）就是他第八個問題的一部分。

1912年，在英國劍橋召開的第5屆國際數學大會上，德國數學家E·朗道將哥德巴赫猜想列為數論中按當時數學水平不能解決的4個問題之一。

1921年，數論泰斗、英國數論學家哈羅德·哈代在德國哥德哈根數學會的演講中，宣稱猜想（1）的困難程度“是可以與數學中任何未解決的問題相比擬的”。

因此，王元說：“哥德巴赫猜想不僅是數論，也是整個數學中最著名與困難的問題之一。”他給大家展示了一幅當年哥德巴赫寫給歐拉的信的手跡復本。

哥德巴赫猜想為何如此重要

在數學界，關于整數未解決的問題非常多，為什么哥德巴赫猜想特別重要呢？

王元說：“哥德巴赫猜想的重要性在于它是一個數學模型，以它作為模型，可以給數學帶來新的方法、新的概念和新的理論。如果一個問題的證明不能帶來新方法、新思想和新理論，那么這個問題就不重要，這樣的問題多得很。”

在接下來的演講中，王元向公眾解釋了哥德巴赫猜想證明為何能帶動新的理論和方法的原因。

證明哥德巴赫想帶動的第一個方法是“園法”。這是1918年，英國數學家哈代、李特伍德和印度數學家拉馬努金研究哥德巴赫猜想時提出的方法。

王元說：“他們從1918年開始做這個方法，這是一個非常有力的方法，是堆壘數論中一個強有力的中心方法。哈代是華羅庚先生的老師，拉馬努金在印度則被神話了。還有就是指數和的估計方法，指數和的估計從高斯開始，在最近100年中發展得很快，原因就是哥德巴赫猜想是它的推動力之一。有了這兩個方法的帶動，基本上解決了哥德巴赫猜想（2），即每一個充分大的奇數都是三個素數之和。為什么說是基本解決而不是完全解決呢，這就要完全理解‘充分大’。”

什么是“充分大”？王元說：“充分大是一個界線，大于這個界線的數則為充分大。在數學中，這個界線有時可以算出來，有時算不出來。在這里，文獻資料顯示，這個充分大可以算出來，是10的1000多次方，這是一個什么概念呢？現在計算機每秒的計算速度可以達到每秒100萬億次，這是10的14次方，10的20次方則是計算機能夠達到的最高上限；再給大家一個概念，整個宇宙的基本粒子有多少？我記得在一篇文章上說是10的50次方，那么，10的1000次方是什么概念呢？無法想象！這是一個大得不得了的數字。所以，三個素數加起來等于一個奇數，這是不能通過計算機做出來的，只能用數學的方法來證明。”

“現在，社會上只知道1＋1，N＋N，忘了將‘充分大’三個字放上去，這些問題都要加上‘充分大’才行。”王元補充說。

證明哥德巴赫猜想帶動的第二個方法是篩法。

王元說：“1918年，挪威數學家布朗改進了有2000多年歷史的埃拉多染尼氏的篩法，證明每個充分大的偶數都是兩個素因子個數不超過9的正整數之和。我們將布朗的結果記為‘9＋9’。從布朗開始，篩法發展差不多90多年了，而且還在發展，最后結果是什么呢？最后結果之一就是陳景潤的結果。陳景潤在1965年證明：每一個充分大的偶數可以表示為一個素數及一個不超過兩個素數之積之和。這個定理可以表示為‘1＋2’。”

“陳景潤的這個定理，報紙上的宣傳也好，群眾的了解也好，都是不完整、不科學的。因為首先，外面大家講的都是陳景潤的‘1＋2’，‘充分大’忘了；其次，大家說陳景潤證明的是一個素數加上兩個素數乘起來。這又錯了！應該是一個素數加上一個素數或者兩個素數乘起來，是不超過兩個素數之積之和。所以，大眾的理解是不科學的，所以我現在要給大家嚴格地講一講。”王元說，“陳景潤定理中的充分大有多大？我們只知道存在這樣一個界，但不能具體給出來！”

“光輝的頂點”

華羅庚是中國最早從事哥德巴赫猜想的數學家。1936～1938年，他赴英國劍橋大學留學，在哈代的指導下從事數論研究，并開始研究哥德巴赫猜想，取得了很好的成果，證明了對于“幾乎所有”的偶數，猜想（1）都是正確的。

1950年，華羅庚從美國回國，在中科院數學研究所組織數論研究討論班，選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題，倡議并指導他的一些學生研究這一問題。他曾對學生們說：“我并不是要你們在這個問題上作出成果來。我的著眼點是哥德巴赫猜想跟解析數論中所有的重要方法都有聯系，以哥德巴赫猜想為主題來學習，將可以學會解析數論中所有的重要方法……哥德巴赫猜想真是美極了，現在還沒有一個方法可以解決它。”

參加這個數論討論班的學生有王元、潘承洞和陳景潤等。出乎華羅庚的意料，學生們在哥德巴赫猜想的證明上取得了相當好的成績。

1956年，王元證明了“3＋4”；同年，原蘇聯數學家阿·維諾格拉朵夫證明了“3＋3”；1957年，王元又證明了“2＋3”；潘承洞于1962年證明了“1＋5”；1963年，潘承洞、巴爾巴恩與王元又都證明了“1＋4”；1966年，陳景潤在對篩法作了新的重要改進后，證明了“1＋2”。

1974年，由英國數學家哈勃斯坦和西德數學家李希特合著的《篩法》一書出版，書中以“陳氏定理”作為最后一章的標題。書中寫道：“我們本章的目的是為了證明陳景潤下面的驚人定理，我們在前10章已經付印時才注意到這一結果。從篩法的任何方面來說，它都是光輝的頂點。”

華羅庚曾對王元說：“在我的學生的工作中，最使我感動的是‘1＋2’。”

王元向大家展示了一張陳景潤的照片，這是日本出版的《數學100個問題》中一張陳景潤的照片。“日本數學界列舉了今天數學中的100個重要問題，哥德巴赫猜想是這些問題中的重要問題之一，因為陳景潤在‘1＋1’的證明中最接近最終目標，所以書中刊登了他的一張照片。這里面刊登一張照片也不容易，因為書中只有兩張中國人的照片，一張是祖沖之的，一張就是陳景潤的。”王元說，“當然，對數學難題的證明作出貢獻只是對數學貢獻的一個方面。”

王元強調：“在這里我應該說明，這個結果最后是陳景潤做出來的，但這個結果應該是90年來大家努力的結果，陳景潤只是走出了最后一步。所以，前面的某些人在數學史上的功勞肯定要超過他，比方說，近代篩法的創始人布朗等。但最后的結果是最后一個人做出來的。如果要證明‘1＋1’，現在還比較遠。”

“這一步大得不得了”

最后，王元說：“今天，我給大家講哥德巴赫猜想，并不是想鼓吹大家來做這個事情。我沒有這個意思。我給大家講一講，只是要讓你們知道這樣一個數學常識，這是我的第一個目的。第二個目的，也是更重要的一點，就是我勸大家現在不要去做哥德巴赫猜想，還是把基礎打好。對這個問題而言，包括陳景潤在內，他辛苦了一輩子證明了‘1＋2’，是他的實力和勤奮，也是他的運氣。陳景潤的結果，報紙上的宣傳也好，外面的說法也好，都不對頭，‘充分大’沒有說，這是不對的。這個問題，基礎沒有打好，怎么搞？對在座的各位年輕人來說，你們現在打基礎很重要，如果要搞這個問題，最低限度，你應該有大學數學專業的畢業生的知識水平，并將已有的文獻都看明白了才能做；否則，就是浪費時間。”

如今，王元每周還要收到幾封信，寫信人強迫和他討論哥德巴赫猜想的問題。“我希望他們不要和我討論這個問題，這個問題我已經幾十年不做了，因為我覺得沒有什么希望再做下去了。不要認為陳景潤做出‘1＋2’，還差一步就做出‘1＋1’。是的，就是這一步；但這一步根本就大得不得了，這一步比90年來走過的路還要長。”王元說。

美國加州大學洛杉磯分校的華裔數學家陶哲軒是2006年數學菲爾茨獎獲得者之一。王元說：“陶哲軒應該是最近幾十年來全世界做得最好的兩位數學家之一，他的目標之一就是要證明‘1＋1’，他現在做出來的結果也很好，但他在很多次報告中都講，他的方法不可能證明‘1＋1’。”

“連這么大的一個天才都沒有做出來，所以，我勸大家不要做這個事，現在不是做這個證明的時候。你們還是應打好基礎，把你們現在該學的解析幾何、代數與幾何等學好，這是最重要的。”王元說。

《科學時報》 (2009-7-2 A3 專訪)

王元在作完題為《漫談哥德巴赫猜想》的報告后給數學愛好者簽名 。王林/攝