進行數學研究還要選擇方向么？什么方向是正確的？陳省身先生的評語使吳文俊陷入沉思。

陳省身先生經常講，數學家要會區分好的數學和不怎么好的數學。什么是好的數學呢？陳省身先生說，有些數學是有開創性的，有發展前途的，就是好的數學。比如說，解方程就是。當然還是陳先生講的對，“好的數學”是指那些有深遠意義的，可以不斷深入，影響許多學科的數學課題。

陳省身先生強調：特別是年輕人，一定要做好的數學。

年輕的吳文俊領悟到陳省身先生的評語的重大指導性。吳文俊回憶說，正是陳師的指導，使自己的數學研究，避免了陷入概念之間無窮盡的繁瑣論證的泥坑，專注于具有幾何意義的實質性問題。

吳文俊是幸運的，得到了數學大師的指點。各種機遇經常在向人們招手，能發現機遇，適時地把握機遇，則需要能力，甚至還要有些聰穎和靈氣。靈氣是功力的體現。常言道，心有靈犀一點通。一個人的功力，不是天上掉下來的，也不是他人所賦予的，需要長期的努力，日積月累而造就的。吳文俊是以他專注、執著、忘我的勤奮，勤于學習和善于學習，勤于思考和善于思考，勤于探索和善于探索，練就了一身硬功夫。

代數拓撲學的建立僅有幾十年，以解析方程組所確定的幾何形體為研究對象，研究其在連續變換下的各種性質。那時出版的專著，敘述的比較抽象，缺少幾何直觀，讀者難以理解所列舉的一些概念的實質。吳文俊閱讀這種書，也是不得要領。陳省身先生講授代數拓撲學，從代數曲面的情形講起，形象直觀，由淺入深，從具體引導到抽象。吳文俊回憶說，經陳師的講解，原來晦澀難通的抽象概念，變得生動易懂，對拓撲學的學習從此步入坦途。

于是，吳文俊開始閱讀陳先生指定的拓撲學文獻，又盡力查找相關的文章努力鉆研。不久，陳先生建議吳文俊考慮惠特尼（Whitney）示性類的乘積公式。據說此公式的證明極為繁復，以至于惠特尼本人為了把證明寫清楚，計劃撰寫一本專著。吳文俊查閱了有關的文獻，掌握了建立惠特尼示性類的途徑，尤其是熟悉了惠特尼示性類的計算方法，也了解了惠特尼本人的一些想法，因而他能設想解決問題的辦法和方略。經過幾個月艱苦的思考、推導和演算，吳文俊練就的功夫發威，終于得到了惠特尼乘積公式的簡短證明。

拓撲學號稱“難學”，不到一年的研習，就獲得這么重大的成績，令人稱奇。有的外國友人，了解這一過程后，連連搖頭，表示不可思議。

1947年，吳文俊考取赴法留學。那時，法國巴黎是世界的數學中心，學術活動頻繁，高手多，信息靈。然而，對法國數學界深有了解的陳省身先生，卻建議吳文俊去位于法國一隅的斯特拉斯堡，跟隨亨利.嘉當（H. Cartan）繼續研讀代數拓撲學。當吳文俊趕到斯特拉斯堡時，亨利.嘉當卻回到巴黎了。于是,吳文俊又轉跟艾利斯曼(Ehresmann)。嘉當和艾利斯曼都是著名的布爾巴基(Bourbaki)學派的創始人。艾利斯曼的研究領域與吳文俊的目標更加接近，對吳文俊的研究工作大有幫助。斯特拉斯堡的環境，使吳文俊專注于示性類的研究。

拓撲變換下的不變量，是拓撲學研究的重要內容。所謂示性類，是一種基本的拓撲不變量。1940年前后，有關示性類的文章陸續發表，短期內集中出現許多重要進展。及時掌握和理解這些文章，是進入研究前沿所必須做的。瑞士的斯蒂佛（Stiefel）和美國的惠特尼先后從不同的途徑引入了示性類，吳文俊在國內時己經了解兩者實質上是相同的。而弄懂蘇聯數學家龐特里亞金（Pontrjajin）的文章，則頗費周折。龐氏的文章是用俄文發表在蘇聯的數學期刊上的，而吳文俊沒有學過俄語。怎么辦呢？吳文俊找來俄語的語法書籍粗讀一遍，就開始利用俄文字典逐字查找字義，逐句進行翻譯，逐段理解數學內容，然后全文融匯貫通。就這樣一字一句地啃，吳文俊硬是讀通了龐氏的文章，掌握了龐氏建立示性類的想法、途徑和數學內涵。對于陳省身先生所建立的示性類，吳文俊則得天獨厚，有著深刻的理解。

有一個譬喻是說，進行數學研究有如架橋。如何架橋呢？先要選址、設計，然后筑起一座座橋墩，再逐孔架起鋼梁，首尾相連，於是天塹變通途。數學研究首先要選題，確定一串難點，然后逐個攻克這些難點，再融匯貫通連成一片，到達彼岸。這僅僅是一種形象的譬喻。基礎研究與工程建設有著巨大的差別。基礎研究是探索尚未被認識的事物，具有很大的不確定性。有誰能為基礎科學研究制定時間進度表呢？工程項目則必須按照施工方案進行，有明確的進度和完工期限。更為重要的是工程建設不允許失敗。工程的失敗不僅是資源和財富的浪費，甚至要付出慘重的代價，是要追究責任的。而科學研究，尤其是基礎研究，卻允許失敗。科學的進步，都是在無數次失敗之后取得的。對于科學家而言，失敗是寶貴的財富，失敗是成功之母。失敗的經歷，也是造就強者的過程，失敗孕育了成功。成固可喜，敗亦欣然，是科學家的精神境界。

在示性類的研究中，難點是成串的，攻克一個又要面對下一個。扎實的功力，勤奮的探索，吳文俊能設想出克敵制勝的方略，然后進行強攻，取得突破。這要經過努力，失敗，再努力，再失敗，孜孜不倦的努力，然后才能取得一些進展。他的研究工作不受作息時間表的限制，只要有想法，有一線攻克難點的希望，就會付出十倍的努力。夜以繼日的拼搏，精力長時間高度集中，高強度的腦力勞動付出，吳文俊的勤奮已渾然忘我。忘我的勤奮，艱難的、勇往直前的奮戰，獲得了豐厚的勝利戰果。

吳文俊分別為這些重要的示性類命名，他首次使用了惠特尼示性類，龐特里亞金示性類，陳省身示性類的名稱。吳文俊明確指出它們不同的數學內涵，理清了它們之間的關系，論證了其它的示性類都可由陳省身示性類推導出，反之則不能，從而肯定了陳示性類的基本重要性。吳文俊建立了惠特尼示性類彼此之間的關系式，國際上稱為吳（第二）公式。

進而，吳文俊在微分流形上引入了一類示性類，國際上稱其為吳示性類，突出的特點在于它是可以具體計算的。吳文俊證明了惠特尼示性類用吳示性類表示的公式，國際上也稱其為吳（第一）公式，從而使惠特尼示性類也變為具體可算的。抽象的數學概念變為具體可算的，是質的跨越。吳示性類的建立，使示性類變為易于理解，適宜應用，為拓撲學的應用開辟了廣闊的局面。

對于這些成就，陳省身先生給予了高度評價，認為吳文俊對纖維叢示性類研究做出了劃時代的貢獻。

遵照陳省身先生的指導，及時明確方向，從“方向不對頭”到做出“劃時代的貢獻”，僅有三、四年的時間啊。

在斯特拉斯堡，吳文俊與同窗好友托姆（R. Thom）結下了深厚的友誼。托姆經常找吳文俊聊天，暢談學習心得，交流研究工作的體會。他們之間無私的、無保留的相互交談，使二人都獲得很大的益處。吳文俊向托姆介紹了龐特里亞金示性類的重要性質，即一個流形是另外一個流形的邊界時，它的龐特里亞金示性類必定為零。這是配邊理論的開端。托姆從中得到很大啟發，以此為起點進行深入研究，建立了一整套配邊理論，獲得了菲爾茲（Fields）獎。托姆則向吳文俊介紹了自己所擅長的乘積空間對角映射的概念和技術，吳文俊也從中得到很大啟發，成為他后來研究拓撲流形示嵌類理論的重要基礎。基礎研究需要無私的奉獻精神，需要真誠的合作，而排斥不正當的競爭。那種你上我下、你失我得的競爭，只能為基礎研究帶來損害。吳文俊與托姆的親密無間的真摯友誼，成為拓撲學界的一段佳話。

當時法國的一些數學家習慣于在街邊的咖啡屋占據一角，不理會窗外的車水馬龍，從早到晚潛心研究數學。吳文俊也入境隨俗，經常到咖啡屋，買一杯濃厚的咖啡，坐到角落的桌旁，進入拓撲學的美好境界，忘卻周邊的喧鬧，進行著數學的演算推導，理解著數學的深奧，體味著失敗的惋嘆和成功的喜悅。直到夜深，吳文俊才收起書籍和筆記，離開咖啡屋。在巴黎時，受到生活條件和工作條件的限制，咖啡屋成了吳文俊的重要工作場所，在咖啡屋他完成了大量的研究工作，他的許多研究成果是在咖啡屋里獲得的。

吳文俊發現了一個關于4維流形龐特里亞金示性類的重要公式，敘述簡單卻包含著大量的拓撲信息，可惜他未能給出證明。不久，托姆證明了這個公式。沃爾夫（Wolf）獎獲得者、德國數學家希爾茲布赫（F. Hirzebruch）把這個公式寫入專著中，產生了重要影響。許多拓撲學家往往產生這樣的困惑，吳文俊是如何發現這個非常基本而如此美妙的公式呢？難道他得到了上帝的恩賜嗎？其實，吳文俊是在拓撲學問題的研究中，進行了大量的推導和演算，好幾個互不相干的領域都導致相同的公式，他自然認識到此公式的普適性和根本重要性。這個公式的發現，是吳文俊在研究工作中付出大量心血，進行艱苦卓絕的探索所獲取的勞動果實。

后來，當他回國之后，又研究拓撲流形的嵌入問題。所謂“嵌入”，是把由解析方程所確定的復雜的幾何形體（即拓撲流形），在保持連續的前提下，安置到簡單直觀的歐氏空間內。拓撲學研究中，同胚不變量是更為重要、更為基本的。但同胚不變量的研究十分困難，一時難以下手，於是降低要求，轉為研究易算的同倫不變量，一段時間形成了研究的熱點。吳文俊并不湊熱鬧，仍然將自己研究的目標，專注于同胚不變量的研究。他集中精力反復探索，從托姆介紹的乘積空間對角映射的思想汲取精華，深入挖掘，引入同胚不變量而非同倫不變量的一種一般構造方法，從而可以提供許多同胚不變量。他以此為工具，系統地研究嵌入問題，建立了復合形的“吳示嵌類”的重要概念。用類似的方法，研究浸入問題和同痕問題，建立了“吳示浸類”和“吳示痕類”的基本概念。

吳文俊的研究成果極富創造性，產生重大影響，引發了大量的后續工作。例如，美國數學家米爾諾（J. Milnor）以解決“7球問題”而獲菲爾茲獎。在他獲獎的文章中，用到吳文俊關于龐特里亞金示性類和惠特尼示性類乘積定理的結果。又如，美國數學家斯邁爾（S. Smale）因解決“Poincare猜想”而獲菲爾茲獎。在他的獲獎工作中，引用了吳文俊關于示痕類的定理，特意指出吳文俊的定理對于他證明關鍵定理是不可或缺的。再例如，英國數學家阿蒂亞（M.F. Atiyah）因證明“指標定理”而獲菲爾茲獎。此定理與費爾馬（Fermat）大定理同稱為20世紀數學科學最輝煌的成就。他發表的相關論文，在不到兩頁半的引言部分，引述吳文俊的工作多達17次，正文中也多處引用吳文俊的這些成果。前文已講到的法國數學家托姆，他獲菲爾茲獎的工作當然引用了吳文俊的結果。他還在回憶錄中，深情地講述了吳文俊和他的友誼。

吳文俊的一些研究成果成為代數拓撲學的經典，半個世紀以來一直發揮著重要作用。吳示性類、吳公式成為拓撲學的必修內容，年輕人可以熟練地掌握和運用這些概念，而不必考證這些概念的來歷，也無須了解這位姓吳的數學家。吳文俊的研究成果對代數拓撲學具有奠基性。

吳文俊在拓撲學研究中獲得的杰出成就，使他和同時代的另外幾位年輕數學家，共同推動拓撲學蓬勃發展，使之成為20世紀的數學主流學科之一。

吳文俊通過自己的獨創性工作而享有盛名，他以自己的學術思想影響了一大批學者，包括前述的多位著名數學家。這充分顯示了他的研究成果的深刻性，重要性，也充分顯示吳文俊是一位具有戰略眼光的數學家。

為數學科學的發展做出重大貢獻，大致可以分為三類：一是取得突破，解決重大數學問題；二是開拓創新，創立新的重要的數學理論；三是化腐朽為神奇，推動某個數學分支向前發展，成為數學的主流。吳文俊先生在這三個方面都有所建樹。審時度勢，把握明確的研究方向，保持良好的心境，勤于探索，善于探索，是吳文俊在代數拓撲學研究的成功之旅所帶給人們的啟示。

吳文俊， 數學家，中國科學院院士，第三世界科學院院士。1919年出生于上海。1940年畢業于上海交通大學數學系。1949年在法國斯特拉斯堡大學獲法國國家科學博士學位。曾任中國科學院系統科學研究所名譽所長、中國數學會理事長、中國科學院數理學部主任。1990年創建數學機械化研究中心，并任主任。研究工作涉及代數拓撲學、代數幾何、博奕論、數學史、數學機械化等眾多學術領域。1956年因在拓撲學中示性類與示嵌類方面的卓越成就獲國家自然科學獎一等獎，1980年獲中國科學院科技成果一等獎，1992年獲第三世界科學院數學獎，1993年獲陳嘉庚基金會數理科學獎，1994年獲求是科技基金會杰出科學家獎，1997年因在數學機械化研究方面的開創性貢獻獲Herbrand自動推理杰出成就獎，2000年榮獲首屆國家最高科學技術獎。

數學與系統科學研究院研究員 石 赫

（本文的寫作過程中，得到吳文俊先生的熱情幫助和指導，謹致謝意。）