朱世杰的《算學啟蒙》是一部很好教科書

朱世杰最重要的數學著作《算學啟蒙》是在公元1299年刊印的，全書分三卷，二十門，總計二百五十九個問題和相應的解答。該書自乘除運算起，一直講到當時數學發展的最高成就“天元術”，全面系統地介紹了當時中國數學家研究的大部分的內容。內容深入淺出，通俗易懂，是一部很好的啟蒙讀物和教科書；這部著作后來流傳到了朝鮮、日本等國，出版過翻刻本和注釋本，產生過一定的影響。在中國一度失傳，直到1839年得到朝鮮翻刻本，才再重新翻印流傳。朱世杰的著作深深地影響著亞洲數學的發展。

《四元玉鑒》是中國代數發展巔峰之代表作

《四元玉鑒》成書于公元1303年，全書共三卷，二十四門，二百八十八問，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法——“四元術”、高階等差級數的計算——“垛積術”以及“招差術”即有限差分等方面的研究成果�？梢哉f是朱世杰闡述自己多年研究成果的一部力作�！端脑�玉鑒》是一部關于中國數學輝煌成就的名著，受到近代數學史研究者的高度評價，認為是中國數學著作中最重要的一部，同時也是中世紀最杰出的數學著作之一。

 書中所有問題都與求解方程或求解方程組有關，在書中的四元術是天、地、人、物表示在單一的方程式中的四個未知數。其中：四元的問題（需設立四個未知數者）有7問（“四象朝元”6問，“假令四草”1問）；三元的13問（“三才變通”11問，“或問歌彖”和“假令四草”各1問）；二元的36問（“兩儀合轍”12問，“左右逢元”21問，“或問歌彖”2問，“假令四草”1問）”；一元的232問（其余各問都是一元）。

可見，四元術——多元高次方程組的解法是《四元玉鑒》的主要內容，也是全書的主要成就。

可以說《四元玉鑒》是中國代數發展之巔峰的代表作。書中主要論及處理齊次方程組、帕斯卡三角形 以及解高次方程(如14次方程)。朱世杰解14次方程式的方法就是現在所周知的霍納方法。雖然朱世杰似乎是第一個發表帕斯卡三角形和霍納方法的數學家， 但是他的名字并沒有和他的發現齊名，但這并無損朱世杰在數學上所做出的重要貢獻。

朱世杰可以被看作是中國宋元時期數學發展的總結性人物，是宋元數學的代表，是中國以籌算為主要計算工具的古代數學發展的頂峰。   

秦、李、楊、朱的數學著作內容廣泛而艱深，象高次方程的數值解法、天元術、四元術、大衍求一術、垛積術和招差術等，都是具有世界意義的學術成就，分別比歐洲要早出現四百年到八百年，在當時世界上居于遙遙領先的地位。這一豐富多彩的輝煌時期在我國數學史上也是罕見的。

朱世杰的“四元術”是在高次方程的數值解法以及“天元術”的基礎上發展起來的。當未知數不止一個的時候，除設未知數天元（χ）外，還需要增設地元（y）、人元（z）乃至物元（u），再列寫出二元、三元甚至四元的高次聯立方程組，然后求解。這就是朱世杰在他的著作中所介紹的“四元術”。 他系統地闡述了運用“天元術”——以代數方法處理幾何問題的巨大的優越性。

  朱世杰不僅提出了多元（最多到四元）高次聯立方程組的算籌擺置記述方法，而且把《九章算術》等書中的四元一次聯立方程組解法推廣到四元高次聯立方程組，在《四元玉鑒》中舉例說明了高次聯立方程組的求解方法——消去法。 在歐洲，解聯立一次方程開始于十六世紀，關于多元高次聯立方程的研究還是十八、十九世紀的事。

朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術”上，指出招差公式中的各項系數恰好依次是各三角垛的積，這樣就得到了包含有四次差的招差公式，并且可以推廣為包含任意高次差的招差公式，這在世界數學史上是第一次，比歐洲牛頓的同樣成就要早近四個世紀。 

  除了“四元消法”和“垛積招差”以外，朱世杰在他的著作中還提出了許多值得注意的內容，在中國數學史上，朱世杰第一次正式提出了正負數乘法的正確法則。他對球體表面積的計算問題作了探討，這是我國古代數學典籍中唯一的一次討論。雖然結論不很正確，但是他的創新精神是可貴的。在《算學啟蒙》中，朱世杰記載了完整的"九歸除法"口訣，和現在流傳的珠算歸除口訣幾乎完全一致。

公元1303年中國數學家朱世杰在他的《四元玉鑒》一書中發表了這個有名的三角形。上圖所示是這個三角形最初出現的原始風貌。朱世杰甚至沒有宣揚發現了這個三角形的榮耀。他用古法來描述它是用來找尋二項式系數。大約在朱世杰之前兩個世紀，中國數學家已經知道這個可用來計算出二項式系數的三角形的模式。

《四元玉鑒》中的另一項突出的成就是關于高階等差級數的求和問題。在此基礎上，朱世杰還進一步解決了高次差的招差法問題。朱世杰的《四元玉鑒》為推進我國古代數學的發展作出了不可磨滅的重要貢獻。但是，我們在看到朱世杰的貢獻時，千萬不要忘了，站在他前面逢山開路，遇水搭橋的偉大數學家李冶的“鑿空”之功！　　

總之，朱世杰繼承和發展了前人的數學成就，為推進我國古代數學的發展做出了不可磨滅的重要貢獻。由于朱世杰和其他同時代數學家的共同努力，使宋、元時期的數學水平達到光輝的高度，在很多方面居于世界前列。朱世杰不愧是我國乃至世界數學史上負有盛名的數學家。

朱世杰是中國數學黃金時代——宋元時期最后的也是最偉大的數學家。歷史家總是描述他是所有時期偉大的數學家之一。然而，朱世杰的生平卻很少有人知道，就連他生日等確切資料也沒人知道。他住在現今北平附近的燕山。他曾“以數學名家周游湖海二十余 年，四方之來學者日眾”，說明他以數學研究和數學教學為業游學四方。