劉徽所寫的《九章算術注》在數學史有很高價值的工作

《九章算術》大約成書在東漢之初，共有246個問題的解法。書中主要包含了解聯立方程，分數四則運算，正負數運算，幾何圖形的體積面積計算等內容，處于世界領先的地位。但是由于一些解法比較原始，而且對用到的定理沒有給出必要的證明，因此劉徽才寫了《九章算術注》，對《九章算術》使用的數學概念加以說明，對公式、定理一一作了補充證明；并對解題過程進行分析，提出了很多獨創的見解。 《九章算術注》充分顯示了劉徽具有多方面的知識和創造性，也反映其嚴謹的邏輯思維和深刻的數學思想。因此劉徽的《九章算術注》是一項非常重要的工作，為中國古代數學奠定了堅實的理論基礎。劉微在數學上有許多杰出的創造。他精辟地研究了開方不盡數，用首創的十進分數（小數的前身）來刻畫它們，向著無理數的認識邁出了重要的一步。 劉徽數學成就中最突出的是“割圓術”和體積理論。

 劉徽的“割圓術”的方法

我們知道，秦之前，人們使用的古率是3， 在《九章算術》中用的圓周率是3，從西漢末年開始，新率才 陸續出現，但仍然是很不精確，并且沒有推算方法。直到三國時期，劉徽提出了用圓內接正多邊形的周長來逼近圓周長的思想。他是中國數學史上第一位用科學的方法 來推算圓周率的數學家。

劉徽割圓術的基本思想是“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣”，就是說分割越細，誤差就越小，無限細分就能逐步接近圓周率的實際值。他很清楚圓內接正多邊形的邊數越多，所求得的π值越精確這一點。

劉徽用割圓的方法，從圓內接正六邊形開始算起，將邊數一倍一倍地增加，即12、24、48、96…，因而逐個算出六邊形、十二邊形、二十四邊形……的邊長，這些數值逐步地逼近圓周率。他做圓內接96邊形時，求出的圓周率是3.14，這個結果已經比古率精確多了。他算到了圓內接正3072邊形，得到圓周率的近似值為3.1416。劉徽首次用理論的方法算得 圓周率為157/50和3927/1250。

劉徽首創“割圓術”的方法，可以說他是中國古代極限思想的杰出代表，不僅為200年后祖沖之的圓周率計算提供了思想方法與理論依據，也對中國古代的數學研究產生了很大的影響。

劉徽對面積與體積的研究

像阿基米德一樣，劉徽集中精力研究了面積與體積公式的推證，并取得了超越時代的漂亮結果。 劉徽的面積、體積理論建立在一條簡單而又基本的原理之上，就是“出入相補”原理：一個幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和保持不變。

劉徽用無窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關鍵問題。為了求得由底為直角三角形的直棱柱分割而成的一個四棱錐與一個三棱錐的體積之比，他采用無限分割、逐次拼合的方法建立了“劉徽原理”。在研究各種體積問題時，他又創造性地運用兩立體圖形相應截面面積之間的關系確定它們體積之間的關系，200多年后被祖沖之的兒子概括為著名的“劉祖原理”。

在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺的體積時，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。關于球體積的計算， 劉徽首先指出了《九章算術》中的球體積公式是不正確的， 并在《九章算術》“開立圓術”注文中指出了一條推算球體積公式的正確途徑。

劉徽取得了廣泛而又深入的研究成果

劉徽的《九章算術注》在世界數學史上也占有重要的地位，現在它已經成為世界科學名著，被譯成多種文字出版。劉徽的《九章算術注》的最主要的貢獻是創立了“割圓術”，為計算圓周率建立了嚴密的理論和完善的算法，開創了圓周率研究的新階段。他得到π的近似值是3927/1253（即3.1416），這個數據的精確度在當時是比較高的，可以說世界領先的。此外，劉徽在給《九章算術》作注中，還運用了“齊同術”、“今有術”、“圖驗法”、“棋驗法”等各種計算方法。

劉徽《九章算術注》還有其他許多數學成果，特別是他在《九章算術》“勾股”章之后所加的一整篇文字，作為《九章算術注》第十卷，后來單獨刊行，稱為《海島算經》。劉徽在書中精心選編了九個測量問題，這些題目具有的創造性和復雜性都是為當時的西方所矚目的。《海島算經》對勾股理論做出了重要推進，發展了古代天文學中的“重差術”，為傳統的二次測量方法——重差述重建理論基礎，并將其發展為三次、四次測量，成為勾股測量學的典籍。 此外，他對《九章算術》中的分數理論、比率理論、方程理論都做出了重要推進。

劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀。他是我國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數學命題的人。劉徽的一生是刻苦鉆研數學，探求真理的一生。他雖然地位低下，但人格高尚。他不是沽名釣譽的庸人，而是學而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。