1904年，外爾從這所中學畢業。當時的校長是德國大數學家D.希爾伯特(Hilbert)的表兄弟，遂將外爾介紹到希爾伯特所在的格丁根大學攻讀數學。從此，外爾踏上了數學之路，并成為日后希爾伯特的繼承人。

　　在格丁根的第一年，外爾讀了許多課程。其中包括希爾伯特的課“化圓為方與數的理論”。新世界的門向他打開了。1905年夏天，外爾帶著希爾伯特的輝煌作品“數論報告”(Der Zahlbericht)回家去。他回憶說：“整個暑假我在沒有初等數論和E．伽羅瓦(Galois)理論這些準備知識的情況下，自己盡力搞懂它。這幾個月是我一生中最快樂的幾個月，經歷了我們共同分擔的疑慮和失敗的許多歲月之后，它的光輝仍撫慰著我的心靈。”外爾曾這樣描述希爾伯特對青年人的影響：“他所吹奏的甜蜜的蘆笛聲，誘惑了許多老鼠追隨他跳入數學的深河”。外爾自己就是這些“老鼠”中的一個。

　　在格丁根讀了一年書之后，外爾按慣例要到另一所大學求學一年。他到了慕尼黑大學。1906年重返格丁根。1907年，外爾投入積分方程的研究。一年之后，以“奇異積分方程”(Equtionsintégrales singwlières)的論文獲得博士學位。他在格丁根一直呆到1913年。1910年起任無薪講師(privatdozent)，在講授函數論等課程的同時，他開拓了新領域“黎曼面”。

　　1913年，外爾和J．海倫(Joseph Helen)結婚。海倫是格丁根大學哲學系的著名才女。他們有兩個兒子。其中J．外爾也是數學家。父子曾合著《亞純函數和解析曲線》(1943)。就在結婚的同一年，外爾受聘為位于蘇黎世城的瑞士聯邦工學院的教授。這時，大物理學家A．愛因斯坦(Einstein)也在那里執教，他們經常交談。愛因斯坦的物理學新思想給外爾留下了深刻的印象。

　　1915年，正值第一次世界大戰，外爾服了一年兵役。1916年重返蘇黎世。此后的十余年，是外爾數學創造的全盛時期。外爾在蘇黎世的生活是幸福的；他曾說，那時打擾他平靜生活的最糟糕的事是外國大學請他去執教的一連串邀請。但是在內心深處，外爾仍然向往格丁根大學，希望回到希爾伯特身邊。因為他的“根”在那里，他要到那里攝取營養，獲得新的動力。

1923年，格丁根大學邀他回去接替退休的F．克萊因(klein)。當時德國政治形勢動蕩，經濟一團糟。外爾躊躇再三，拿著“接受邀請”的電文到電報局，可到了拍發時，又改變了主意，辭謝了邀請。1930年夏天，格丁根大學又邀他回去接替希爾伯特。盡管這時德國政治、經濟形勢仍然不好，但外爾終于接受了邀請。他寫信給老師：“應召作為你的繼任，我內心的欣喜和自豪是無法用言詞來形容的”。

　　但是外爾在格丁根沒有呆很長時間。30年代的德國，法西斯的濁流在到處蠢動，排猶的風潮越演越烈。外爾本人雖不是猶太人，可是他的妻子海倫是半個猶太人。1933年1月，希特勒上臺，局勢極度動蕩，大批猶太科學家離開德國。作為格丁根大學數學研究所的領導人，整個春天和夏天，外爾寫信，去會見政府官員，但什么也改變不了。夏日將盡，人亦如云散。外爾去瑞士度假，仍想回德國，希望通過自己的努力來保住格丁根的數學傳統。可是美國的朋友極力勸他趕快離開德國：“再不走就太晚了！”美國普林斯頓高級研究院為他提供了一個職位。早在那里的愛因斯坦說服了外爾。從此，他和海倫在大西洋彼岸渡過了后半生。

到普林斯頓時，外爾已經48歲，數學家的創造黃金時期已經過去。于是他從“首席小提琴手”轉到“指揮”的位置上。他象磁石一樣吸引大批數學家來到普林斯頓，用他淵博的知識、深邃的才智給年輕人指引前進的方向。普林斯頓取代格丁根成為世界數學中心，外爾的作用顯然是舉足輕重的。無數的年輕人懷念外爾對他們的幫助，用最美好的語言頌揚他的為人，其中有一個是中國學者陳省身。

1985年，陳省身回憶他和外爾的交往時寫道：“我1943年秋由昆明去美國普林斯頓，初次會到外爾。他當然知道我的名字和我的一些工作。我對他是十分崇拜的。……外爾很看重我的工作，他看了我關于高斯(Gauss)-博內(Bonnet)公式的初稿，曾向我道喜。我們有很多的來往，有多次的長談，開拓了我對數學的看法。歷史上是否會再有象外爾這樣廣博精深的數學家，將是一個有趣的問題。”

　　外爾在美國也繼續做一些研究工作。他寫的《典型群，其不變式及其表示》 (The classical group，their invariants and repre-sentations，1939)以及《代數數論》(Algebraic theory of numbers，1940)使希爾伯特的不變式理論和數論報告在美國生根開花。他的“半個世紀的數學”(A half-century of mathematics，1951)更成為20世紀上半葉數學的最好總結。他還在凸多面體的剛性和變形(1935)、n維旋量黎曼矩陣、平均運動(1938—1939)、亞純曲線(1938)、邊界層問題(1942)等方面作出貢獻。

　　外爾的妻子于1948年逝世。1950年，他又和B．愛倫(Ellen)結婚。外爾在1951年退休，但他在普林斯頓的職位仍然保留著。以后他在普林斯頓和蘇黎世兩地居住。

1954年，外爾在第十二屆國際數學家大會上講話，介紹菲爾茲獎獲得者小平邦彥(小平邦彥，Kodaira Kunihiko)和J．P．塞爾的工作。第二年，70壽辰的祝壽活動之后不到一個月，外爾在郵局寄信時突然心臟病發作，于1955年12月8日與世長辭。

外爾的著作生前出版過選集。1968年，施普林格(Springer)出版社發行外爾的《論文全集》，(Gesammelte abhandlungen)，包括166篇文章，但不包括他的十幾本書。

外爾一生的科學工作，可以分為四個時期：格丁根時期(1904—1913)；蘇黎世時期(1913—1930)；第二格丁根時期(1930—1933)；普林斯頓時期(1933—1955)。他的數學工作幾乎遍及整個數學。其中包括奇異積分方程、微分方程、數學物理方法、希爾伯特空間、狄利克雷原理、模1分布、概周期函數、亞純曲線變分學等分析課題，凸體的表面的剛性、拓撲學、微分幾何中的聯絡、黎曼面等幾何課題，李群的不變量、李群的表示、代數理論、邏輯等代數課題，以及相對論、量子論、哲學、科學史等課題。他的許多工作成為20世紀一系列重要數學成就的出發點。外爾的研究足跡緊緊追隨著整個科學的進展，從廣義相對論到量子力學，一直在科學的前沿上弄潮。許多人認為，時至今日，通曉整個數學的數學家似乎已經沒有了。外爾也許是能做到這一點的最后一人。

　　外爾在格丁根時期的初期研究工作，可以說完全在希爾伯特的影響下進行。他在格丁根的博士論文題目正是希爾伯特當時鐘愛的研究課題：積分方程。
　　1910年，外爾在為獲得無薪講師職位發表就職演講時，作出了他在數學上第一個重要工作：二階線性微分方程的奇異邊界條件。眾所周知，經典的斯圖姆(Sturm)-劉維爾(Liouville)問題是求解自共軛微分方程。

外爾在追隨希爾伯特研究積分方程和微分方程之后，從1911到1912年開辟了自己的新研究方向：黎曼面。這時，外爾在格丁根大學講授函數論課程。復值多值函數依靠黎曼面的構造一直依靠直觀想象，并用自然語言加以描述。外爾一面授課，一面構思嚴格的黎曼面理論。年僅26歲的外爾爆出了天才的火花。他將黎曼面R看成被R中各點的鄰域U所覆蓋，而每一鄰域U又附以從U到復平面的映射ψu。外爾把所有由(U，ψu)構成的全體記作 。如果 滿足(1) 中所有U的并集即是R，(2)當V=U1∩U2非空 上區域ψu2(V)到復平面區域ψu1(V)的復變函數。我們假 )看作黎曼面。

在20世紀數學史上，外爾的這一想法是劃時代的(上面的敘述已采用現在常用的形式)。首先，他采用了鄰域思想，無疑為點集拓撲學的出現催生。其次，黎曼面用現在的眼光來看乃是復一維流形。在20世紀大放異采的復流形理論即導源于此。第三，外爾指出，黎曼面的深入研究，“不只是使解析函數的多值性直觀化的手段，而且是這個理論的本質部分，是解析函數能在其上生長和繁榮的唯一土壤”。它開創了現代函數論。第四，黎曼面的虧格、分類等導向同調和同倫論，為代數拓撲的誕生指引了方向。外爾這一工作，幾乎影響了20世紀的整個純粹數學。1913年《黎曼面的觀念》(Die Idee der Riema-nnschen Fl che)出版。從中人們可以看到希爾伯特的鄰域公理化方法，L。E。J。布勞韋爾(Brouwer)使用的單純形方法，H?龐加萊(Poincare)的基本群觀念以及曲面的指向等嚴格理論。
　　
　　1916年，當外爾從兵營回到工學院講臺時，愛因斯坦的廣義相對論問世不久，一場物理學研究的浪潮席卷全球。外爾毫不猶豫地投身其中。1916到1917年，他在蘇黎世的聯邦工學院講授相對論課程時，力圖把哲學思想、數學方法以及物理學理論結合起來，用自己的思想清晰而嚴格地闡述廣義相對論。講稿在1918年以《空間、時間、物質》(Raum、Zeit、Malerie)的書名正式出版，五年之內再版五次，成為年輕人的心愛之物。大物理學家W。K。海森伯(Heisenberg)等都從此書中得到教益。
　　1917—1919這幾年間，外爾在幾何學與物理學上作出了巨大貢獻。他受到愛因斯坦在廣義相對論中研究引力場的鼓舞，企圖提出一種既包括引力又包括電磁力的幾何理論，即通過發展幾何學來完成“統一場論”的構想。雖然“統一場論”經過努力(包括愛因斯坦本人的努力)至今仍未建立起來，但是外爾一系列的研究成果卻深刻地影響著當代物理學的進展。
　　外爾首先對作為相對論數學框架的黎曼幾何加以改造和擴展。外爾的這一思想無疑是稍后的E。嘉當(Cartan)的一般聯絡理論的源頭。聯絡概念已構成現代微分幾何的基礎，其意義之重大正如分析學中的微分概念。
　　

1932年，希爾伯特70壽辰。外爾寫了生日祝辭，表達了他對恩師的崇敬與深情。

愛因斯坦對外爾的論文預印本十分關注，但后來明確表示反對這篇文章。結果愛因斯坦的意見作為按語加在外爾文章的后面，外爾又寫了一個回答附在末尾。愛因斯坦的異議是說，不可積標度因子理論如果正確，那么從0出發的兩條路徑，由于標度的連續變化，一般將會有不同大小，因而兩個鐘快慢將會不同，時鐘依賴于每個人的歷史，那就沒有客觀規律，也就沒有物理學了。外爾對此作了回答，但未能消除愛因斯坦的異議。1949年，外爾回憶當時的心情說：“在蘇黎世的一只孤獨的狼——外爾，……很不幸，他太易把他的數學與物理的和哲學的推測混在一起了。”

外爾的規范理論啟發了楊振寧：可以把規范理論從電磁學推廣出去。這就產生了楊振寧-米爾斯(Miles)在1954年提出的非交換規范場理論。這一規范場理論在粒子物理中顯示了強大的生命力，可惜那時外爾已退休，未曾注意及之。
　　外爾的數學研究總是和當代的物理學最新成就聯系在一起。當1925—1926年量子力學剛剛產生的時候，外爾深入地從事李群及其表示的研究，并在1927年把這項研究與量子力學結合起來。1928年，名著《群論和量子力學》(Gruppentheorie und Quanten-mechanik)出版。差不多每一位在1935年之前出生的理論物理學家，都會在自己的書架上放上這本書。不過，幾乎沒有人去讀它。對物理學家來說，這本書太抽象了。
　　1957年楊振寧和李政道發現了宇稱不守恒，并由吳健雄等用實驗證實。外爾的二分量中微子理論也得到重新肯定。這時外爾去世已經兩年，人們無法聽到這位理論物理先驅的評論了。讓我們再回到數學上來。外爾在本世紀20年代從事李群和李代數及其表示的研究，可說是外爾數學生涯中最光輝的篇章。

　　外爾逝世已經40年了，但是整個國際數學界仍然時刻感到他的存在。他所創立的深刻數學思想至今還在起著指路燈的作用。他的工作一定會影響到下一個世紀。