哈密頓在物理學和數學領域里都有杰出的成就，他是一位勤奮工作而酷愛真理的人。他和妻子在一起散步的橋頭，已經有一個紀念碑。

四元數是由哈密爾頓在 1843年愛爾蘭發現的。愛爾蘭有一個很多人熟悉的英雄，威廉.華萊士。在電影《勇敢的心》中，有一柄長劍，叮地插在大地之上，長劍在風中微顫，你仿佛聽見愛爾蘭的英雄在高呼：自由！在通往數學的自由或者奴役的道路之上，哈密頓的四元數是一個豐碑。從物理學上講，它就是泡利矩陣，有了泡利矩陣，就有了2分量旋量。所以天才總是相互感應，而有了泡利矩陣，才有了扭量，這亦是自然的事情。 

兩個四元數相等的準則是系數a、b、c、d都對應相等。

兩個四元數相加只要將對應系數分別相加形成新的系數，這樣和本身也是一個四元數。為了定義乘法，哈密爾頓不得不規定i與j，i與k及j與k的乘積。為了保證乘積是一四元數，并且盡可能多地保留實數和復數的特點，他約定：jk=i，kj=－i，ki=j，ik=－j，ij=k，ji=－k，這些約定意味著乘法是不可能交換的。這樣若p和q為四元數，則pq不等于qp。一個四元數被另一個四元數除也是可以做的，然而，乘法的不可交換性蘊含了用四元數q去除四元數p時，可以意味著找到r，使得p=qr或p=rq，商r在兩種情形下可能不等。盡管四元數并沒有像哈密爾頓希望的那樣有廣泛的使用價值，他還是能用它們來解決大量的物理和幾何問題。

四元數的引入給了數學家們又一次震動。它是一個確確實實有實際用途的代數，卻不具備所有實數和復數都具備的基本性質，即 ab=ba。

哈密爾頓發明四元數后不久，從事其他領域研究的數學家們引入了更奇怪的代數。著名代數幾何學家凱萊引進了矩陣，它是矩形或正方形數組。對它們也可進行通常的代數運算。但是如同在四元數中的情形一樣，它也沒有乘法可交換性。而且即使兩個矩陣都不為0，它們的積也可能為0。四元數和矩陣只不過是許多性質越來越奇怪的代數的先驅。格拉斯曼發明了許多這樣的代數。它們甚至比哈密爾頓的四元數還要一般化。不幸，格拉斯曼只是個中學教師，因此過了許多年他的工作才獲得了應有的注意。無論怎樣，格拉斯曼工作增添了現在稱為超復數的新代數中的多樣性。

為了特別的目的而創建的這些新代數本身并沒有向普通的算術及其擴展在代數和分析中的真理提出挑戰。畢竟，一般的實數和復數可用于完全不同的目的，它們的實用性是無可質疑的。也許真理本質上就是難以捉摸的，或者如羅馬哲學家塞涅卡所說：“自然界不會一下子披露她所有的秘密。”

如果幾個力作用于一個物體，則這些力及其向量表示不一定通常也不會總在同一平面上。如果為了方便起見將通常實數稱為一維數，復數為二維數，那么，要用什么來表示空間中某種三維數的向量及其代數運算呢？人們希望對這種三維數進行的運算，類似于復數的情況，將必須包括加、減、乘、除，而且必須滿足通常實數和復數所具有的那些性質。這樣代數運算才能自由且有效地使用。于是，數學家們開始尋找一種稱為三維復數及其代數的數。

有許多數學家從事了這一問題的研究。1843年，哈密爾頓提出了一個有用的復數的空間類似物，哈密爾頓為此困惑了15年。那時數學家們所知道的所有的數都具有乘法的交換性，即ab=ba，因此哈密爾頓很自然地相信他所找的三維數或三元數，也應該具有這一性質以及其他實數和復數具有的性質。哈密爾頓終于成功了，不過他被迫作出兩點讓步。首先，他的新數包含四個分量，其次，他不得不犧牲了乘法交換律。這兩個特點對代數學來說都是革命性的，他把這種新的數叫做四元數。

a+bi+cj+dk    i2=j2=k2=－1  兩個四元數相等的準則是系數a、b、c、d都對應相等。

當時他正研究擴展復數到更高的維次（復數可視為平面上的點）。他不能做到三維空間的例子，但四維則造出四元數。根據哈密爾頓記述，他是于10月16日跟他的妻子在都柏林的皇家運河散步,突然靈感撲面而來,他在橋上寫下乘法表: i2＝j2＝k2＝-1，i·j＝k，k·i＝j，j·k＝i；j·i＝-k；i·k＝-j，k·j＝-i。

這是一個普通的橋,它以前的名字叫布魯穆橋（現稱為金雀花橋 Broom Bridge）。 
哈密頓創造了把四元數描繪成一個有序的四重實數：一個標量（a）和向量（bi + cj + dk）的組合。

根據上述乘法表，四元數顯然是復數的擴充，它將復數作為特殊形式包含在自身之中，它屬于超復數。但這種數對乘法的交換律不再成立，哈密頓為此考慮了十幾年，最后直覺地想到：必須犧牲交換律，于是第一個非交換律的代數誕生了，在以前的乘法中，乘法是交換的，比如從小學數學開始,沒有人告訴你為什么1x2=2x1，但這背后其實埋藏無窮秘密。

哈密頓的這個創造，把代數學從傳統的實數算術的束縛中解放出來，人們開始認識到數學既可來自現實世界的直接抽象也可以來自人類的思維的自由創造，這種思想引起了代數學領域的一次質的飛躍，現代抽象代數的閘門被打開了。只有在4維歐空間之上，唐納森發現了無窮多微分結構。loop量子引力被人詬病，因為她不能回答為什么時空是4維的，但上帝用數學來回答。

在19世紀到20世紀，哈密頓之后，物理學家洛侖次寫了厚厚的《電子論》，Lorentz的《The Theory of Electrons》總共三百多頁，當時還沒有發現電子。這是歷史上一個偉大的事情，雖然洛侖次不是最出色的，但人們應該注意到，在洛侖次力公式 f=qE+vX B 出現了點乘與叉乘。

這個是一個經典電動力學里的假設,但可以相信，這個假設說明，在四元數中,結合方法必須既有點乘又有叉乘，這個假設是實驗證實的，所以洛侖次是偉大的。

電磁理論與四元數的結合是自然的，天然的，同時是微妙的。因為電磁場在四維時空才是天然的。