傅立葉深信數(shù)學是解決實際問題的最卓越的工具，并且認為“對自然界的深刻研究是數(shù)學最富饒的源泉。”它已成為數(shù)學史上強調通過實際應用發(fā)展數(shù)學的一種代表性的觀點。付里葉也很重視數(shù)學物理等應用數(shù)學的發(fā)展，他很早就開始并一生堅持不渝地從事熱學研究，付里葉級數(shù)拓廣了函數(shù)概念 ，從而極大地推動了函數(shù)論的研究，1801年付里葉回法國，擔任過伊澤爾地區(qū)的行政長官。當然他還一之堅持熱學研究。

提交論文遭拒絕，繼續(xù)研究修改成正果“付里葉級數(shù)和付里葉積分”

傅立葉的主要貢獻是他在研究熱傳導問題時創(chuàng)立了一套數(shù)學理論。早在1807年傅立葉就寫成了一篇關于熱傳導問題的論文，他在向法國科學院呈交的論文中宣布了任一函數(shù)都能夠展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。傅立葉的創(chuàng)造性工作是他推導出著名的熱傳導方程，并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構成的級數(shù)形式表示，從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。為偏微分方程的邊值問題提供了基本的求解方法——傅立葉級數(shù)法，從而極大地推動了微分方程理論的發(fā)展。

這篇論文經拉格朗日、拉普拉斯和勒讓德等著名數(shù)學家審查，由于文中初始溫度展開為三角級數(shù)的提法與拉格朗日關于三角級數(shù)的觀點相矛盾，而遭拒絕。不過他們還是鼓勵他繼續(xù)鉆研并發(fā)展自己的思想。

1811年傅立葉又提交了他修改后的論文，在里面提出了傅立葉級數(shù)和傅立葉積分的創(chuàng)新思想和方法，因而這篇關于熱傳導問題論文獲得了1812年科學院大獎，但是這篇論文因為在論證方面仍然缺乏嚴密性而未能在科學院的院刊《科學院報告》上正式發(fā)表。

1822年傅立葉出版了他的專著《熱的解析理論》，他在書中解 決了熱在非均勻加熱的 固體中分布傳播問題，成為分析學在物理中應用的最早例證之一，對19 世紀數(shù)學和理論物理學的發(fā)展產生深遠影響。書中包括了他處理了各種邊界條件下的熱傳導問題，以系統(tǒng)地運用三角級數(shù)和三角積分的數(shù)學思想和數(shù)學成就。《熱的解析理論》已成為數(shù)學史上一部經典性的文獻，他的學生以后把它們稱為傅立葉級數(shù)和傅立葉積分，這個名稱一直沿用至今。在書中傅立葉斷言：“任意”函數(shù)（實際上要滿足一定的條件，例如分段單調）都可以展開成三角級數(shù)，他列舉大量函數(shù)并運用圖形來說明函數(shù)的這種級數(shù)表示的普遍性，勒讓德等著名數(shù)學家審查，但是沒有給出明確的條件和完整的證明。

傅立葉在《熱的解析理論》中提出的三角級數(shù)（即傅立葉級數(shù)）、傅立葉分析等理論，將歐拉、伯努利等人在一些特殊情形下應用的三角級數(shù)方法發(fā)展成內容豐富的一般理論，三角級數(shù)后來就以傅立葉的名字命名。傅立葉應用三角級數(shù)求解熱傳導方程，同時為了處理無窮區(qū)域的熱傳導問題又導出了現(xiàn)在所稱的“傅立葉積分”，這一切都極大地推動了偏微分方程邊值問題的研究。

然而傅立葉的工作意義遠不止此，它迫使人們對函數(shù)概念作修正、推廣，特別是引起了對不連續(xù)函數(shù)的探討；三角級數(shù)收斂性問題更刺激了集合論的誕生。因此，《熱的解析理論》影響了整個19世紀分析嚴格化的進程。此外傅立葉在數(shù)學領域的貢獻還有，他是最早使用定積分符號的，他還改進了代數(shù)方 程符號法則的證法和實根個數(shù) 的判別法等。 其影響還擴及純粹數(shù)學的其他領域。 

由于傅立葉在數(shù)學和物理學方面取得了一系列重要的研究成果，1817年他被選為科學院院士，并于1822年成為科學院的終身秘書。1827年又當選為法蘭西學院院士。1830年5月16日卒于巴黎由于對熱傳導理論的貢獻于1817年當選為巴黎科學院院士，1822年成為科學院終身秘書。后又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席。