ICM2002年菲爾茲獎獲得者

勞倫·拉福格的研究工作

菲爾茲獎得主勞倫·拉福格：“我研究的是數學方面最基本、最具體、最簡單的問題，但有一點很奇怪，我無法完全理解，我相信也無人能完全明白，那就是要解決這些具體的難題必須運用數學界最復雜、最艱難的方式。

菲爾茲獎得主勞倫·拉福格在朗蘭茲綱領研究方面取得了巨大的進展，他證明了與函數域情形相應的整體朗蘭茲綱領。他的工作的特點是：令人驚嘆的技巧，深刻的洞察力和系統有力的方法。

朗蘭茲綱領最先是由羅伯特·朗蘭茲（robert p. langlands）在1967年給安德雷·韋依的一封著名的信中提出的。它是一組意義深遠的猜想，這些猜想精確地預言了數學中某些表面上毫不相干的領域之間可能存在的聯系。朗蘭茲綱領的影響近年來與日俱增，與它有關的每一個新的進展都被看作是重要的成果。

對朗蘭茲綱領最強有力的支持之一，是1990年代安德魯·懷爾斯證明費馬大定理。懷爾斯的證明與其他人的工作一起導致了谷山-志村-韋依猜想的解決。該猜想揭示了橢圓曲線與模形式之間的關系，前者是具有深刻算術性質的幾何對象，后者是來源于截然不同的數學分析領域的高度周期性的函數。朗蘭茲綱領則提出了數論中的伽羅瓦表示與分析中的自守型之間的一個關系網。

朗蘭茲綱領的根源，可以追溯到數論中最深刻的結果之一 ——二次互反律。二次互反律最早產生于17世紀費馬的時代，1801年高斯給出了其第一個證明。數論中經常提到的一個問題是：當兩個素數相除時，余數是否是完全平方？二次互反律揭示了關于素數p和q的兩個貌似無關的問題之間存在的奇妙聯系，這兩個問題是：“p除以q的余數是否為完全平方？”與“q除以p的余數是否為完全平方？” 盡管關于這一定律已經有許多證明（高斯本人就給出了六個不同的證明），二次互反律仍然是數論中最神奇的事實之一。1920年代高木貞治和埃米-阿廷又發現了其它的較一般的互反律。朗蘭茲綱領的一個最初動機，就是要對更一般情形的互反律提供完全的理解。

拉福格所證明的相應的整體朗蘭茲綱領，對更抽象的所謂函數域而非通常的數域情形提供了這樣一種完全的理解。我們可以將函數域設想為由多項式的商組成的集合，對這些多項式商可以像有理數那樣進行加、減、乘、除。拉福格對于任意給定的函數域建立了其伽羅瓦群表示和與該域相伴的自守型之間的精確聯系。拉福格的研究是以1990年菲爾茲獎獲得者弗拉基米爾-德里菲爾德的工作為基礎，后者在1970年代證明了相應的朗蘭茲綱領的特殊情形。拉福格首先認識到德里菲爾德的工作可以被推廣而為函數域情形的相應的朗蘭茲綱領提供一幅完整的圖象。

在這一工作的過程中，拉福格還發現了一種將來可能被證明是十分重要的新的幾何構造。所有這些發展的影響正在波及整個數學。

勞倫·拉福格1966年11月6日生于法國安東尼，1986年畢業于巴黎高等師范學校，1990年成為法國國家科學研究中心的助理研究員，同時參加巴黎南大學的算術與代數幾何小組的工作并于1994年獲博士學位。2000年他成為位于法國伊沃特布雷的高等科學研究院的終身數學教授。

艾琳·杰克遜(allyn jackson) 撰 李文林 譯 勞倫·拉福格