通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關系以及它們的度量性質。拓撲學對于研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關系都無關。

幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬于幾何學的范疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現一些孤立的問題，后來在拓撲學的形成中占著重要的地位。在數學上，關于哥尼斯堡七橋問題、多面體的歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。

歐拉與拓撲學

第一個拓撲問題是歐拉在1736 年解決的哥尼斯堡的七橋問題。 哥尼斯堡是東普魯士的首府，這座歷史名城產生過大哲學家康德和大數學家希爾伯特。普雷格爾河橫貫哥尼斯堡城中，其中有七座橋。

尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閑暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來的位置。這個問題看起來很簡單有很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那么容易。

問題是，我們能否散步經過每一座橋，而且只經過一次，歐拉證明這不可能。

1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。

在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關于多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那么它們總有這樣的關系：f+v-e=2。

歐拉的數學才能表現在他把這問題化成圖的形式，然后證明不存在一筆畫法把這圖畫出。

如果經過這七座橋所有可能路線都試一下的話共有5040 種路線，如果每一條路線都試一下證明行不通的話，顯然既費時日，也太盲目了。歐拉作為一個數學家，在這里顯示出他的威力。歐拉沒有到過哥尼斯堡，更不去盲目地亂試，他只是把問題簡化，去掉不必要的因素，例如橋的長度，然后把用河隔開的四塊區域縮成四個點，這樣七橋就變成4 個點間、7 條連線組成的圖，而七橋問題就變成這個圖能否一筆畫成。

那么一個圖能否一筆畫成，依賴于點和線的數目。連到一點的數目如是奇數條，就稱為奇點，如果是偶數條就稱為偶點，要想一筆畫成，必須中間點均是偶點，也就是有來路必有另一條去路，奇點只可能在兩端，因此任何圖一筆畫成，奇點的數目不是0 個就是2 個，否則不能一筆畫成。現在看歐拉的七橋簡圖，4 個點均為奇點，因此，七橋問題找不到一個肯定的路線。

根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業于倫敦大學的弗南西斯.格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。” 1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，于是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。