有很長一段時間，大約是幾百年，人們對“零”意義和作用的認識是有些模糊的。其實這也很好理解，因為“零”的意思不像其他的數字那么直觀。設想在古時候，如打獵打到一頭野豬，兩只野兔和三只野雞，這個數量都是可以一個一個數出來的，人們就是借助實際的物體的數量來認識這些數字的。當時人們并沒有考慮用什么東西代表“沒有”這種情形。到后來在數量增大到一定程度的時候，有了“進位”問題的時候，人們才用一個圓形圈或方形的口的符號來代表空位，但它只是被當作一個特殊的對象來看待，它并不能參與運算，所以在一個相當長的時間里，人們都沒有給“零”一個合法的數字身份。

今天人們能夠很容易地理解“有幾個”與“一個都沒有”只是在數量的多少上有區別，還有在除法運算中“零”不能做分母,除此之外，它其他九個數字的地位都是一樣的，一樣可以參與數學的運算。盡管古希臘畢達哥拉斯學派的數學家很早就對“數”性質和關系有很多的研究，如奇數、偶數、完美數，親和數等，但是他們對零并沒有給予太多的關注。希臘哲學家亞里士多德認為，“零”是非法的，它破壞了一致性，把“零”當作一個普通的數會導致不可理解的結果。他當時可能是沒有辦法來解決，“零”作為分母時，怎么解釋它的意義和定義它的結果。這樣一個對現代人來說是微不足道的問題，然而在古代有好幾百年都一直無法取得突破。

“零”的意義

恩格斯曾說過：“零是任何一個確定的量的否定，所以不是沒有內容的。相反地，零是具有非常確定的內容的。……零不只是一個非常確定的數，而且它本身比其他一切被它所限定的數都更重要，事實上，零比其他一切數都有更豐富的內容。”

在數學發展過程中，“零”在不同的情況下有多種含義。

1  表示“空位”的零，在位值制記數法中，零作為填補空位的符號。單獨一個空位零不具有任何數量意義，必須依附于另一個非零數碼，才能表達數量。早期巴比倫楔形文書和宋元以前的中國籌算記數法，都留出空位表示零，只是沒有符號。

2  表示“沒有”的零——數量零（或絕對零、“整數零”），零在任何計量單位中表示“沒有”、“無”。

3  分析學家眼中的極限零，就像惠施說的：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭�！钡暮�義。 華羅庚說：“當n大時，雖小，但并不是零，這就是萬年不竭的道理�！睂嶋H上，分析學家運用求極限的方法得到的極限零是一個無窮小量。

“零”的表示

“零”作為記數法中的“空位”，在位值制記數方式的文明中不可缺少，只不過各種文明采取不同的方式，大部分文明沒有引入數碼而以空位表示。公元前3世紀，巴比倫人曾引進專門記號表示空位，宋元以前的中國籌碼記數等，印度人和瑪雅人采用了符號，瑪雅20進位制中的零用有像眼睛或貝殼的符號表示。但他們的表示方法并不完善。

“零”最初是用空格口表示，后用點●表示，而用圓圈符號“0”表示“零”也是印度人的一項偉大發明，它最早出現于9世紀，人們在一個叫“瓜廖爾”的地方的一塊石碑上發現了它。

實際上，人們在對于“零”的意義和作用的認識花了更長的時間，因此遲到的“0”，并非是“零”的概念和意義不存在，而是對它一直沒有完整和清晰的認識。

下面我們來看人們是經歷了一個怎樣漫長的過程才認識“零”的。

“零”的認識過程　

▲ 公元前3000年，巴比倫人就已經懂得使用零來避免混淆。

▲ 公元前2500年左右，印度最古老的文獻《吠陀》已有“0”這個符號的應用，當時它表示空的位置。

▲ 公元前七、八世紀，印度人就普遍使用十進位值制記數法，婆羅米文字中出現過九個數碼，梵文中都出現過，一種流行的觀點是認為印度人以零表示“無”概念與佛教的“空”（梵文）有關，但這種說法沒有明確的根據，只不過這種意義的確是較早地出現于印度文明中。

▲據史料記載，托勒密在公元一百三十年左右時使用巴比倫人的六十進制系統連同表示空白位置的符號O。這個期間托勒密在數字間及數字尾端使用這個符號。這時把零看作空位置的思想基本上是確立了。在這個時候，人們看到的O，它代表的是空位。 

▲  事實上有證據顯示在公元二百年的印度就有位置數字系統的空白位置表示符號的使用了，但是一些歷史家將它們視為偽造而不去注意到它們。 　 

▲ 到公元前三世紀，印度出現了整套的數字，但在各地區的寫法并不完全一致，其中最有代表性的是婆羅門式：這一組數字在當時是比較常用的。它的特點是從“1”到“9”每個數都有專字�，F代數字就是由這一組數字演化而來。在這一組數字中，還沒有出現“0”（零）的符號。

關于公元前二世紀至公元后三世紀的印度數學，可考證的資料非常少，但值得慶幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地區發現了這一時期的，書寫在樺樹皮上的所謂“巴克沙利（bakhshali）手稿”。 特別值得注意的是該書使用了一些數學符號，出現了10個完整的十進制數碼，用點●表示“零”。

▲ “0”這個數字是到了笈多王朝（公元320—550年）時期才出現的。在公元四世紀完成的數學著作《太陽手冊》中，已使用“0”的符號，當時只是實心小圓點“ ●”。 這樣一套從“0”到“9”的數字就趨于完善了。這是古代印度人民對世界文化的巨大貢獻。

▲ 公元550年印度天文學家瓦拉哈米希拉論述了0的加減運算。

▲ 公元628年婆羅摩笈多在《宇宙開端》中寫道：“負數減去零是負數，正數減去零是正數，零減去零什么也沒有……”，但是仍然沒有把零當作與其他數字一樣看待。

▲ 可以確定的是在公元650年左右，印度的數學家就把“零”當作一個數字了。

▲ 公元773年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人，這樣就將印度數字傳入了阿拉伯，后來又傳至歐洲。歐洲人接受了它，由于是從阿拉伯傳入歐洲的，所以稱之為阿拉伯數字，成為國際通用的數字系統。

▲ 用圓圈符號“0”表示“零”也是印度人的一項偉大發明，目前掌握的最早的證據是公元876年，“0”出現在一個叫瓜廖爾的地方的一塊石碑上。

▲ 大約在11世紀，有十個數字的完整印度數字系統趨于成熟。印度人不僅把“0”看作是記數法中的空位，而且也把它看成是可參與運算的一個特殊的數。

印度人是比較早從他們的 “無” 與學的“空”，來感知“零”的。我們看到 從僅僅表示有無和空位到把看成一個與其他數字一樣可以參與運算的數，大約是經過了幾百年，跨出這一步是多么的艱難。

▲ 印度人的概念向東延伸到了中國，在公元1247年中國數學家秦九韶所寫的數學專論中就使用了O 這個符號來代表零。

▲  公元1202年斐波那契在《算盤書》中，正式介紹，“這是印度的九個數碼：987654321， 加上阿拉伯人稱之為“零” 的符號“0”，任何數都能夠表示出來�！�

 斐波那契是最早將有關數字系統的新觀念帶進歐洲的重要人物，但是斐波那契并不能勇敢地把零看成是與其它九個數字一樣的數，證據是他只是把“零”讀做“符號”零，卻不是叫做“數字”零。因此盡管將印度數字介紹給歐洲人是斐波那契為數學的發展作出的最重要的貢獻，但是他對零的認識還沒有達到印度數學家和阿拉伯數學家們那樣清晰的程度，特別是對“零”是數字這個事實，他還是有些猶豫的。 

如果你細心觀察的話，會發現羅馬數字中沒有“零”。其實在公元5世紀時，“0”已經傳入羅馬。但羅馬教皇兇殘而且守舊。他不允許任何使用“0”。有一位羅馬學者在筆記中記載了關于使用“0”的一些好處和說明，就被教皇召去，施行了拶刑，使他再也不能握筆寫字。

實際上，用“零”代表“沒有”和“零”的概念一直存在著，同時用“零”表示空位的方法也是長期一直都在使用，但是把“沒有”，“空、占位”和無窮小量等多個意義集成在一起，賦予“零”一個比較完整的意義，這是一直到公元1600年前后才實現的，人們到那時才對“零”有了比較清晰的認識，我們看到認識零的過程前后大約經歷了數千年時間。

大家都知道數學具有抽象性的特點，而從人們認識“零”的過程，你會發現其實完成“零”這個概念的抽象，其實是經過多么漫長的過程，并不像想象中那么的簡單。我們現在無法想象沒有“零”的時候，對許多的數學研究有多么的不方便�？ǖぴ跊]有使用到零的情形下，解決了三次及四次的方程式。如果他那個時候就有“零”的話，他會比較容易的發現和解決這些問題。

回過頭來看，我們可以說，首先把“零”看成是一個數字，而不是一個特殊的符號，使它能夠參與運算，就是一個非常重大的進步；其次“零”與負數以及無窮小量的思想引入，在數學史上都是非常重大的思想突破。

法國著名數學家拉普拉斯曾經寫道：“用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度�！�

專門研究數論的數學大師哈代有一次到印度去領一個獎，他被邀請在會上發表演說。他上臺第一句話說：“印度對人類的貢獻是‘零’�！� 這時全場鴉雀無聲，人們在愣了三秒鐘之后才反映過來，然后全場哄堂大笑。數學大師用最簡單的一句話，將“印度人對數學所做的重要貢獻”高度概括出來，真是讓人佩服和傾倒。陳之藩先生盛贊哈代說：“這是幾百年才可能培養出來的花朵。”

“零”這個數字真的是印度人對數學的一個大貢獻。沒有“零”，不僅是數字系統不完整，還有許多數學概念的發展就會遇到很大困難，知識系統的形成就會有很大的不同�！傲恪边@個概念實在是太重要了，因此人們對“零”有了比較清楚的認識被看作是在數學發展史上取得的重要進展。在我國古代“零”叫做金元數字,意即極為珍貴的數字。

關于零的歷史，有兩本書《從零開始》和《零的故事》是專門講述這個專題的，從巴比倫開始，經過希臘、印度、阿拉伯、中世紀、科學時代，一直講到二十世紀，里面有許多的關于零的有趣的故事。你如果有興趣，可以讀一讀。