古印度數學史

從大約公元前2500年的印度河谷文明開始，印度就一直是出現歷史和哲學重大發展的地方，與這些發展相交織的是多方面的科學和技術活動。古代印度是個信奉佛教的國度，而古印度人對古代數學的貢獻，就像佛掌上的明珠那樣耀眼和引人注目。 

印度數學的數學發展可以劃分為三個重要時期，首先是雅利安人入侵以前的達羅毗荼人時期，史稱河谷文化；隨后是吠陀時期；其次是悉檀多時期。

印度在數學、物理學和天文學等基礎學科領域為人類的科學發展做出過杰出的貢獻：十進制的建立和零概念的引入為數學的發展奠定了基礎

印度人對純數學科學的掌握可以回溯到古代。一般都承認，對科學發展有關鍵意義的“零”的概念是印度對世界的一大貢獻，并經由阿拉伯人傳到歐洲。在公元850年，最偉大的耆那教數學家 Mahaviracharya 就曾提到過零的重要性。在公元前5世紀，Brahmagupta 成為了第一個解決 Pellian 方程的數學家。一個世紀之后，Aryabhatta在 Gitikapada 時代求出了數學常數π的最精確值。于公元前3或4世紀書寫在72張白樺樹皮上的 Bakhsali 手稿是一份獨一無二的數學教科書，它給出了各種法則、帶插圖的例子和若干幾何、代數及算術問題的解法。在寫作于公元前290年的 Kalpasutras 中，Bhadrabahu 證明了畢達哥拉斯定理。

古代印度文明是世界主要文明之一，位于亞洲南部次大陸，包括今天印度河與恒河流域的印度、巴基斯坦、孟加拉、尼泊爾、斯里蘭卡、不丹、錫金等國。

印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的達羅毗荼人的哈拉帕青銅文化，大約到了公元前1500年左右，中亞游牧民族雅利安人入侵印度，征服了達羅毗荼人。公元前1400至公元前1000年，雅利安人向東擴張，控制了恒河流域。公元前500年前后，恒河下游的摩揭陀國統一印度北方。大約在公元前7世紀形成了婆羅門教，隨后在公元前5-6世紀前后有又出現了佛教和蓍那教。公元前518年波斯帝國侵占印度，使印度成為其一個轄區。公元前327年，馬其頓王亞歷山大大帝在滅波斯帝國后入侵印度河上游地區，建立莫爾雅帝國，并立即擴張到全印度以及中亞西亞的一些地區。公元前321年旃陀羅笈多（護月王）趕走馬其頓人，推翻難陀王朝，建立孔雀王朝，從而再次統一印度北方，恢復到印度人自己的統治時代。除公元前304年的西亞的塞流西（seleucid）王國入侵并很快媾和外，孔雀王朝國勢強盛，至阿育王（aaoka,bc268-232年在位）達到極盛。此時東印度河流域在摩揭陀國的難陀王朝統治下基本統一。至公元前187年，孔雀王朝為巽加(sunga)王朝所取代。

公元前165年前后被匈奴人擊敗西遷的大月氏人，于公元1世紀在中亞建立貴霜帝國，很快占領印度北部的廣大地區。公元320年左右，摩揭陀國的另一旃陀羅笈多一世建立笈多王朝(gupta，320-535)統治北印度，印度進入封建社會時代。

從5世紀始，印度文明又不斷受到其它民族的侵占，先是5世紀的白匈奴人入侵，繼而阿拉伯人于711年攻占印度河下游的信德；到了10世紀，信奉伊斯蘭教的突厥人建立的迦色尼王朝和古爾王朝 (阿富汗）先后統治印度，不久印度進入德里蘇丹國時期。13、14世紀又遭受蒙古人的侵擾，成吉思汗后裔建立的帖木兒帝國于1398年攻入印度，后于16世紀在印度建立了莫臥兒帝國。18世紀以后，莫臥兒帝國國勢危弱，常受波斯、阿富汗等國的侵掠，后來英國人乘虛而入，1757年印度淪為英國殖民地，最終莫臥兒帝國于1857年滅亡。

古代印度數學

印度數學的數學發展可以劃分為三個重要時期，首先是雅利安人入侵以前的達羅毗荼人時期，史稱河谷文化；隨后是吠陀時期；其次是悉檀多時期。由于河谷文化的象形文字至今不能解讀，所以對這一時期印度數學的實際情況了解得很少。

印度數學最早有文字記錄的是吠陀時代，其數學材料混雜在婆羅門教和印度教的經典《吠陀》當中，年代很不確定，今人所考定的年代出入很大，其年代最早可上溯到公元前10世紀，最晚至公元前3世紀。吠陀即梵文veda，原意為知識、光明，《吠陀》內容包括對諸神的頌歌、巫術的咒語和祭祀的法規等，這些材料最初由祭司們口頭傳誦，后來記錄在棕櫚葉或樹皮上。不同流派的《吠陀》大都失傳，目前流傳下來僅有7種，這些《吠陀》中關于廟宇、祭壇的設計與測量的部分《測繩的法規》（sulva sūtrus,又譯成繩法經），有一些幾何內容和建筑中的代數計算問題。如勾股定理、矩形對角線的性質、相似直線形的性質，以及一些作圖法等，在作一個正方形與已知圓等積的問題中，使用了圓周率的以下近似值：，此外還用到  = 3.004和 = 4 (8÷9)2 = 3.16049的近似值。在關于正方形祭壇的計算中取2 = 1 + 1/3 + 1/ (3×4) －1/ (3×4×34) = 1.414215686

由幾何計算導致了一些求解一、二次代數方程問題，印度用算術方法給出求解公式。耆那教的經典由宗教原理、數學原理、算術和天文等幾部分構成，流傳下來的原始經典較少，不過流傳一些公元前5世紀至公元后2世紀的注釋。其中出現了許多計算公式，如圓周長的計算公式等。

關于公元前2世紀至公元后3世紀的印度數學，可考資料非常少，值得慶幸的是1881年在今天的巴基斯坦西北地區發現了這一時期的，書寫在樺樹皮上的所謂“巴克沙利（bakhshali）手稿”。 其數學內容十分豐富，涉及到分數、平方根、數列、收支與利潤計算、比例算法、級數求和、代數方程等，其代數方程包括一次方程、聯立方程組、二次方程。特別值得注意的是該書使用了一些數學符號，如減號，將“12 － 7” 記成“12 7＋”，出現了10個完整的十進制數碼，用點表示“0”.

數字及數字系統　 

在公元200年到1200年之間，古印度人就知道了數字符號和0符號的應用，

零當作一個數字

可以確定的是在公元六百五十年左右印度的數學家使用零當作一個數字。印度人也使用位值系統而將零當作空白位置的表示符號。今日我們所使用的高度發展的數系是從印度的數字及數字系統逐步演進而來的。

公元前2500年左右,印度最古老的文獻已有“0”這個符號的應用，當時的0在印度表示空的位置。約在6世紀初，印度開始使用命位記數法。7世紀初印度大數學家葛拉夫.瑪格蒲達首先說明了0的性質，任何數乘0是0，任何數加上0或減去0得任何數。遺憾的是，他并沒有提到以命位記數法來進行計算的實例。也有的學者認為，O的概念之所以在印度產生并得以發展，是因為印度佛教中存在著“絕對無”這一哲學思想。

婆羅摩笈多的兩部天文著作《婆羅摩修正體系》（628）和《肯德卡迪亞格》（約665），都含有大量的數學內容，其代數成就十分可貴。他把0作為一個數來處理，9世紀馬哈維拉和施里德哈勒接受了這一傳統。婆羅摩笈多對負數有明確的認識，提出了正負數的乘除法則。他曾利用色彩名稱來作為未知數的符號，并給出二次方程的求根公式。

7世紀以后，印度數學出現了沉寂，到9世紀才又呈現出繁榮。如果說7世紀以前印度的數學成就總是與天文學交織在一起，那么9世紀以后發生的改變。馬哈維拉的《計算方法綱要》可以說是一部系統的數學專著，全書有九個部分：（1）算術術語，（2）算術運算，（3）分數運算，（4）各種計算問題，(5)三率法（即比例）問題，(6)混合運算，(7)面積計算，(8)土方工程計算，(9)測影計算。基本是對以往數學內容的總結和推廣，書中給出了一般性的組合公式，而且給出橢圓周長近似公式。

公元733年，印度一位天文學家在訪問現伊拉克首都巴格達期間，將印度的這種記數法介紹給了阿拉伯人，因為這種方法簡便易行，不久就取代了在此之前的阿拉伯數字。這套記數法后來又傳入西歐。 

引進十進制的數字

這些符號在某些情況下和現在的數字很相近。此后，印度數學引進十進制的數字，同樣的數字在不同的位置表示完全不同的含義，這樣就大大簡化了數的運算，并使計數法更加明確。比如，古巴比倫的記號▼既可以表示1，也可以表示1/60， 而在古印度人那里，符號1只能表示1個單位，要表示十、百等，必須在符號1的后面加上相應個數的符號0。這實在是個了不起的發明，以致于到了現代，人們在計數的時候依然沿用這種方法。

負數
　　古印度人很早就會用負數表示欠債和反方向運動。他們還接受了無理數的概念，在實際計算的時候，把適用于有理數的計算方法和步驟運用到無理數中去。另外，他們還解出了一次方程和二次方程。 

一次方程和二次方程 

從公元七世紀印度的代數有了很大發展, 數學家婆羅摩笈多創立表示量的概念和描述運算的一套符號，12世紀婆什迦羅提出負平方根的概念、研究無理方程的解法和無理數的運算法則，把代數學的研究推向了新的階段。

三角學

    　印度數學在幾何方面沒有取得大的進展，但古印度人對三角學貢獻很大。這是他們熱衷于研究天文學的副產品。如在他們的計算中，用到了三種量——一種相當于現代的正弦，一種相當于現代的余弦，還有一種稱為“正矢”，在數量上等于1－cosα，這個三角量現在已經不用了。他們還知道一些三角量之間的關系， 比如“同角正弦和余弦的平方和等于1”等等，古印度人還會利用半角表達式計算某些特殊角的三角值。

由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文數學受外來文化影響較深，除希臘天文數學外，也不排除中國文化的影響，然而印度數學始終保持東方數學以計算為中心的實用化特色。與其算術和代數相比，印度人在幾何方面的工作顯得十分薄弱，最具特色與影響的成就是其不定分析和對希臘三角術的推進。