古埃及數學

埃及是世界上文化發達最早的幾個地區之一，位于尼羅河兩岸，公元前3200年左右，形成一個統一的國家。尼羅河是埃及人生命的源泉，他們靠耕種河水泛濫后淤土覆蓋的田地謀生。尼羅河定期泛濫，淹沒全部谷地，水退后，要重新丈量居民的耕地面積。由于這種需要，多年積累起來的測地知識便逐漸發展成為幾何學。由于他們也得準備好應付洪水的危害，因此就得預報洪水到來的日期。這就需要計算。

埃及人還把他們的天文知識和幾何知識結合起來用于建造他們的神廟，使一年里某幾天的陽光能以特定方式照射到廟宇里。公元前2900年以后，埃及人建造了許多金字塔，作為法老的墳墓。從金字塔的結構，可知當時埃及人已懂得不少天文和幾何的知識。例如基底直角的誤差與底面正方形兩邊同正北的偏差都非常小。

金字塔是代表埃及人對幾何的另一種用法。

坐落在基沙地區的埃及金字塔群是人類史上最偉大最古老的建筑物之一，由其建筑技術上的高超、定位技術的精確，一直以來使世人驚嘆不已。你看見過埃及金字塔嗎？幾百年來，它以宏偉高大的氣勢，吸引了無數觀光旅游的人們。這么高大的金字塔，建造精度如此之高，古埃及人是怎么建成的呢？當科學家破譯了古埃及人流傳下來的草片上的文字之后，發現古埃及人已經掌握了豐富的幾何知識。

有一位研究“埃及金字塔建造史” 的學者葛瑞姆·漢卡克，他提供了一些有關埃及金字塔的非常有趣和有參考價值的數據資料。在平均邊長9063英寸的底座上，金字塔四邊互相的誤差率還不到1%；現代建筑的一大難題“正直角技術”甚至被古建筑大師們游刃有余應用于金字塔的轉角建構上。而且達到令人驚訝精密的程度，只有“2秒之微”的誤差；

金字塔雖不是建造在正北緯30度線上，卻也在非常接近的29度58分51秒，所存在的細微的誤差是有意加上去的。假設原始設計者希望以肉眼，而非心眼，從大金字塔的底邊看到太空的極點的話，將大氣中光線的曲折方式也計算在內后，大金字塔所在的位置一定要在29度58分22秒，而非30 度的位置不可。58分22秒與實際位置所在的58分51秒之間的差距還不到1分的一半，如此高的精密度，再次顯示出古埃及人無論在一般測量或地理測量上，技術如何地精湛。

然而，考古學家在觀察金字塔時，還有很多更令人震驚的發現。 

天文學的“分點歲差”

“分點歲差”具有嚴謹的、一再重復的數學特質，可以精確地加以分析和預測。然而，若是缺乏精密的儀器，我們就很難觀察它，更不用說精確地加以測量了。 

古代人何時第一次計算出歲差？這個問題的答案是一個了解人類歷史的一大秘密。

根據史書記載，發現“歲差”這個天文現象的是古希臘學者希巴克斯：公元前2世紀，他提出的歲差值為45或46秒（跟現代天文學界接受的數字50.274秒極為接近。但是誤差是很小的，原因在于每年改變50．274秒，還不到l度的l／60，因此，春分太陽沿著黃道遷移l度大約需要72年時間，這相當于人的一生。

由于要觀察這種極為緩慢的改變，在當時是非常困難的，所以希巴克斯在公元前2世紀提出的歲差值，會被《大英百科全書》推崇為“重大發現”。

隱藏在古埃及的神話中一組關鍵數字 

考古天文學家珍·謝勒斯在他的著作《古埃及神祗之死》中提及，在埃及的歐西里斯神話里可能刻意隱藏著一組關鍵數字，而這些數字在故事情節上也許是“多余的”，但卻能提供我們一套永恒的計算方法。請看這樣： 

12＝黃道帶星座的數目； 

30＝沿著黃道，每一個黃道帶星座所占的度數；

72＝春分太陽沿著黃道，完成l度的歲差移動所需的時間，即72年； 

360＝黃道的總度數； 

72×30＝2160（太陽沿著黃道移動30度，穿越過一整個黃道帶星座所需的時間，即2160年）；

2160×12（或360×72）＝25920（完成一個歲差周期或“大年”所需的時間，即25920年，也就是“大回轉”總共所需的年數）。 

還出現了其他數字和數字組合，例如：

36＝春分太陽沿著黃道，完成半度的歲差移動所需的時間，即36年； 

4320＝春分太陽完成60度的歲差移動，穿越兩個黃道帶星座所需的時間，即4320年。

謝勒斯認為這就是一再出現于古代神話和神殿的天文歲差密碼的基本成分，這套密碼允許人們隨意向左或向右移動小數點；人們也可以運用密碼中的基本數字，全都與分點歲差率有關，從事幾乎任何組合、排列、乘除。密碼中最重要的數字是72。古代神話常在這個數字上加36，使成108，然后乘以100，得10800，或除以2，得54，再乘以10，得540（或54000，540000，540000 0等等）。

另一個關鍵數字是2160（春分太陽穿越一個黃道帶星座所需的年數）。古代神話有時將這個數字乘以10或10的因數，得216000，2160000等；有時乘以2 ，變成4320，43200，432000，4320000，無窮無盡。 

比希巴克斯更精確：謝勒斯認為，這些數字的演算是被刻意轉變成密碼，隱藏在歐西里斯神話中，以便將天文歲差信息傳達給初入門的人。

葛瑞姆認為這些數字如果真的牽涉到天文歲差，它們在古代出現，委實是不可思議的現象，因為這些數字所包含的科學知識太過先進，并不是古代任何已知的文明能夠演算出來的。他也提醒人們不要忘記，包藏這些數字的神話，在古埃及人發明文字之初就已經存在了。從在公元前2450年左右寫成的金字塔經文，看到里面就包含有歐西里斯神話的一些成分，而根據上、下文我們可以判斷，即使在那個時候，這些成分已經非常古老。

任何金字塔的幾何構造都涉及到兩個基本要素，一個是金字塔的高度（頂端距離地面的高度）；另一個是金字塔在地面的周長。

以埃及的大金字塔為例，它的高度（481.3949英尺）和周長（3023.16英尺）之間的比率，恰好
等于一個圓圈的半徑和圓周之間的比率，即2π。

如果將這座金字塔的高度乘以2π（如同我們根據一個圓圈的半徑計算它的圓周），我們就能夠精確算出金字塔的周長：481.3949×2×3.14＝3023.1 6。相反地，如果我們將這座金字塔的周長除以2π，也同樣可以算出它的高度。3023.16/2/3.14＝481.3949。 

這樣精確的數學關聯，幾乎不可能出于單純的巧合。因此，我們不得不承認，埃及大金字塔的設計師確實了解π的原理，刻意將它的數值應用到金宇塔的營建上。 就如埃及大金字塔在三度空間上的設計，墨西哥太陽金字塔運用的π原理顯然并不是單純的巧合。這兩座金字塔在建構上都表現出π的關聯，而大西洋兩岸其他金字塔卻都沒有這個特征。此一事實足以證明：在遠古時代，這兩個地區的人類已經掌握先進的數學知識，而且他們在營建金字塔時，都抱持某種基本的“共同目標”。

我們剛才看到，埃及大金字塔使用的高度／周長比率是2π，而這樣的一種比率所要求的坡度是非常特殊、很難處理的52度角。太陽金宇塔的高度／周長比率是4π，也同樣要求不尋常的坡度（43.5度）來配合，如果不是為了某種神秘的理由，古埃及和墨西哥建筑師何不選擇比較簡單的45度角，只須將一個直角切成兩半就行了。 

究竟是怎樣的一種共同目標，使大西洋兩岸的建筑師煞費苦心，不憚其煩，將π數值精確地納入這兩座金字塔的建造中呢?金字塔興建期間，墨西哥和埃及的文明似乎沒有任何直接接觸，因此我們不得不懷疑，在遠古時代，這兩個地區曾經從一個共同的根源繼承到一些知識觀念。埃及大金字塔和墨西哥太陽金字塔所呈現的共同數學觀念，可能和“球體”有關，因為這種形體具有三度空間，一如金字塔，而一般的圓只有兩度空間。

我們似乎可以這樣推論：為了以象征方式將球體表現在三度空間、表面平整的建筑物上，古埃及和墨西哥的建筑師才不憚其煩，把π原理精確地納入這兩座金字塔的設計。此外，這些建筑師的意圖似乎不在表現一般的球形，而是呈現一個特殊的球體：地球。 

似曾相識的“43200”——再窺神秘 

雖然很多傳統學者認為在金字塔中π的使用純屬偶然，但連他們也承認有π存在的事實。可是我們能夠認真地接受，大金字塔可能是將北半球以l／43200的比例，縮影在平面上嗎? 讓我們看一下相關的數字。根據最新由人造衛星搜集到的測量值，地球赤道的周長為24902.45英里，至北極的半徑為34949.921英里。

大金字塔的周長為3023.16英尺，高度為481.3949英尺。兩者之間的比率，經計算以后，雖然不是完全不差，但已非常近似。如果我們考慮地球在赤道（我們的地球為橢圓，而非正圓形）的膨脹情形，那么兩者之間的比例似乎就更接近l/43200了。 

到底有多接近呢? 如果我們將赤道周長的24902.45英里，除以43200，得到0.5764英里。1英里等于5280英尺。如果將0.5764乘以5280，得到3043.39英尺。就是說地球的赤道縮小43200倍后，為3043.39英尺。而大金字塔的周長為3023 .16英尺。兩者之間的“誤差”不到20英尺，也就是僅一個百分點的1/3。

金字塔建筑者歷來以精確無比的方式在工作，這種誤差的產生，應該不是在建造金字塔時發生，而是因低估了我們的地球周長——僅低估了163英里所致。而這種誤差可能是未能將赤道凸出部份正確計算在內的結果。（甚至如果那時地球的形狀跟今天的有一點差別，又會怎樣？） 接著，讓我們來檢討一下從北極到赤道的半徑3949.921英里。如果我們將它縮小43200倍的話，得到的數值為0.0914英里，就是482.59英尺。而大金字塔的高度為481.3949英尺，兩者之間只差不到1英尺，誤差率不及1/5百分點。 這種些微的誤差放在一邊，大金字塔的圓周的確應該為赤道的l/43200縮尺。

同樣地，將些微的差距放在一邊，大金字塔的高度等于北極到赤道半徑長的l/432 00縮尺。換句話說，在西方文明歷經地球毫無所知的黑暗時期，只要將大金字塔的周長乘以43200倍，就可得到地球的周長了。

這一切，“偶然”的可能性有多大? 依常識判斷，應該“很不可能”。任何一個有理性的人，都應該可以看出來，這些數字只有經過非常仔細的計算與小心的規劃才能達成。

在金字塔的設計中的幾個關鍵的指標和數字表明了其實43200這個數字本身就已經是一個證明。不過，古埃及學者向來不將常識認為是應該經常使用的東西，因此，我們必須進一步證明，43200不是一個隨便設定，而是在智慧與知識之上，故意選定的一個數值。其實43200這個數字本身就已經是一個證明，因為它不是一個隨意的數字（如4500 0、47000或50500、38800之類的)，而是一個連串性數字中的一環，和歲差運動有關系，并與世界各地的古代神話都息息相關。

如前所述金宇塔與地球的比率，在神話中不時可見，有的時候就直接出現43200，但有的時候也會變成432，或43 20，或432000。這似乎反映了兩件驚人的事實，而且是兩件緊密相關的事，就好像設計來互相補充一般。

葛瑞姆認為。大金字塔為地球北半球的正確縮影，僅這件事就夠驚人的了。但更令人吃驚的是，古埃及人所選用的縮尺比例，竟然和掌握地球歲差運動的關鍵數字有關系。

這是由于地球軸心的兩端永遠而固定地回旋、描繪圓弧，造成黃道帶上春分點的位置，以每72年1度、每2160年30度(一個完整的星座)的弧度移動，每移動兩個星座，也就是60度，便需要4320年。 

不同的古代神話中，都出現過432這個和歲差運動有關的數字，這本身當然也有可能純屬偶然。從單一事件來看，金字塔與地球的比例1：43200，可能純屬偶然。

當我們在兩個非常不同的事物——古代神話與建筑中，都看到這種與歲差運動有關的數字時，便無法也不該再輕言偶然了。大金字塔的建筑從圓周與高度的π關系，引領我們找到了同樣與歲差運動有關的43200，進而向北半球的尺寸推理，最后想到縮尺的可能性。 

在這里我們得到了一種科學上被證明了可行性的新的測地投影法（其實古人也曾采取過類似的方法測地），簡述如下： 原本金字塔的設計，便是要讓每個面代表北半球的1/4個曲面，也就是球形1/4 的90度。為將球形的1/4圓正確投影為三角形，1/4的圓弧，也就是底座必須和三角形底邊長度完全一樣才行。而且，兩者也必須等高。而要達到這個目的，將金字塔一分為二的子午線的頂點，和底座的高度，必須呈π的關系的斜面角度…… 

這些奇妙的數字難道真的是偶然的巧合嗎？葛瑞姆認為這個偶然的機率一定比天文數字還要低。

與天文學相關一些數學知識

古埃及人不但能辨識歲差運動，還具有利用神話來講述、傳播它的能力。他們比任何其他古代人 都更了解太陽系的運作，并懂得觀測天象。而且如果古埃及人真的具有如此高深的天文知識的話，他們一定非常重視這些知識，并代代相傳，使它成為海里歐波里斯的精英祭司所保管的重要秘密之一。這些祭司想必會非常秘密地，以口傳的方式，只授予經過嚴格挑選的同門后人。萬一因時勢需要，他們必須將這些精奧的知識寫進金字塔經文的話，一定會故意將這些知識以引喻、寓言等的方式呈現出來，以保護他們的秘密。難道這是不可能的嗎? 

早在哥白尼和伽利略出生前好幾千年，古埃及人就以地動說解釋了太陽系的運動。 要注意的問題是，不論是古埃及人，或繼續古埃及文明的希臘人，甚至后來文藝復興前的歐洲人，都從來沒有過這么高深的天文資料。在一般測量或地理測量方面古埃及人的技術之精湛達到甚至令現代人也無法想象的地步。然而，在古埃及文明甚至還沒有開化前，經文中便出現了如此這般高深的知識。

關于這一點，應該做何解釋呢?  葛瑞姆·漢卡克從很久以前，便開始相信埃及科學能夠如此發達、洗練，必定和繼承脫不了關系。他看到在悠遠的過去，曾經擁有高度技術——的角度去解釋這個謎。

古埃及人有一套非常便利的天狼星周期歷法概念，他們認定是天神所賜予的。古代埃及歷法的周期為1460年，太陽歷法的周期則為1461年。這一點更可以佐證上述的觀點。 

用技術性語言來說，天狼星周期就是“天狼星再度與太陽在同樣地方升起的周期”。天狼星在固定的季節中，會自天空中消失，然后，又會在太陽升空天亮之前，從東方的天空升起。就時間而言，這個周期——除去小數點的尾數后——為365.35日。后面的尾數很長，就是太陽歷的12分鐘而已。

令人感到奇怪的是，在肉眼可觀察到的2000顆星星中，精確地以365專日的周期，與太陽一起升起的星星只有一顆，而這便是天狼星“正確的運動”，這顆星球在宇宙中運動的速度，加上歲差運動的結果。同時，古埃及的歷法特地將天狼星比太陽先升空的那一天，定為元旦日。而在事前，在金字塔經文編纂的海里歐波里斯，古埃及人便已經計算好元旦日的到來，并通知尼羅河上下所有的神殿。

金字塔經文將天狼星稱為“新年之名”。由此而來，我相信天狼星歷至少和金字塔經文的歷史一樣久遠。其中最令人不解的謎便是，在這么久遠的太古時代，誰能有這么高超的知識技術，能夠觀察、記錄到太陽與天狼星周期之間，非常巧合地差365.25日? 法國數學家史瓦勒·魯比茲說，天狼星的周期為“完全料想不到的意外天體現象”。 

為什么選中天狼星？這是因為在無數的星星中，它是唯一以正確的方向，移動了相應的距離的星球。就是說早在4000年前，人類便已經知道了這個現象。而要能夠發現這個現象需要長時間觀察天體運動才行。對于發觀這種純屬偶然現象的偉大科學家，我們除了敬佩，無話可說。 

人們從金字塔經文看到了史前的古埃及人就有長時間正確觀測星象，并做成科學性記錄的傳統，而且在他們的神話中暗含的許多表達歲差運動的數字，不但非常精確，而且一致性高，絕不可能是偶然湊成的。他們在天文學與數學的知識遺產就是以這種方式傳承，而金字塔正是當時古埃及人所達到的天文、數學與建筑知識水平的一個永久的證明。

從通氣孔到獵戶座——波法爾的發現 

1993年，又出現了關于古埃及驚人的新發現，一位天文研究很有興趣的比利時土木工程師羅伯·波法爾發現天空和基沙的金字塔之間很有關系。就是他注意到了另一個驚人的發現。1960年古埃及學家及建筑家亞歷山大·拜德威博士和美國的天文學家特林波發現了大金字塔王殿南側的通氣孔，在金字塔時代（公元前2600一公元前2400年）對準著獵戶星的三顆星。而這是只注意地面卻忽略了天空的古埃及學專家們始料未及的。

由紙草書記錄下的埃及數學成就

現今對古埃及數學的認識，主要根據兩卷用僧侶文寫成的紙草書；一卷藏在倫敦，叫做萊因德紙草書，一卷藏在莫斯科。埃及最古老的文字是象形文字，后來演變成一種較簡單的書寫體，通常叫僧侶文。兩卷紙草書的年代在公元前1850～前1650年之間，相當于中國的夏代。除了這兩卷紙草書外，還有一些寫在羊皮上或用象形文字刻在石碑上和木頭上的史料，藏于世界各地。

原來，在尼羅河三角洲盛產一種和蘆葦很相象的水生植物――紙莎草，古埃及人把這種草從縱面剖成小條，連接成片后再壓榨篩干，就可以在上面寫字了。古埃及人的這些文字因為寫在紙莎草上，所以我們稱它為“紙草書”。那時埃及人的書寫方式是用墨水寫在草片上，草片很容易干裂成粉末，所以除了銘刻在石頭上的象形文字外，古埃及的文件很少保存下來。古埃及人在數學科學上的工作，我們現在知道得不太多，這與草書不耐保存有很大的關系。

后來，一位法國人弄明白了紙草書上文字的含義，使人們知道，古埃及人已經學會用數學來管理國家和宗教事物，確定付給勞役者的報酬，求谷倉的容積和田地的面積，計算建造房屋所需要的磚塊數等等，還會計算釀造一定量酒所需的谷物數量呢！用數學語言來說，就是古埃及人已經掌握了加減乘除運算、分數的運算，還解決了一元一次方程和一類相當于二元二次方程組的特殊問題。紙草書上還有關于等差、等比數列的問題。另外，古埃及人計算矩形、三角形和梯形的面積等的結果，和現代的計算值十分相近。比如，他們掌握了計算圓的面積的公式，使用的π＝3.1605，這可是非常了不起的。因為有了這樣充足的數學知識，古埃及人建成金字塔就不足為怪了。

古埃及文明的發展是在沒有外來勢力的影響下獨自進行的。埃及人靠著尼羅河帶來的肥沃的土壤，創造著自己生生不息的文明和科學。古埃及人造出了幾套自己的文字，其中有一套是象形文字，每個文字記號是某件東西的圖形，直到公元紀元前后，埃及的象形文字還用在紀念碑文和器皿上。

埃及很早就用十進記數法，但卻不知道位值制，每一個較高的單位是用特殊的符號來表示的。例如111，象形文字寫成三個不同的字符，而不是將1重復三次。埃及算術主要是加法，而乘法是加法的重復。他們能解決一些一元一次方程的問題，并有等差、等比數列的初步知識。占特別重要地位的是分數算法，即把所有分數都化成單位分數(即分子是1的分數)的和。

紙草書還給出圓面積的計算方法：將直徑減去它的1/9之后再平方。計算的結果相當于用3.1605作為圓周率，不過他們并沒有圓周率這個概念。根據莫斯科紙草書，推測他們也許知道正四棱臺體積的計算方法。總之，古代埃及人積累了一定的實踐經驗，但還沒有上升為系統的理論。